问题化学习课堂中的深度学习

【摘 要】 问题化学习课堂以问题为抓手，用一连串问题助推学生实现深度学习，发展学生学科思维，提升学生核心素养.学生要能深刻理解并把握学习内容的核心和联系，教师可从情景引入、合作探究、组内追问、感悟升华等方面做尝试.

【关键词】 问题化学习;深度学习;弧长

问题化学习课堂是以学生的问题为出发点，通过一系列问题来推动学生持续性的学习.为了更好地提升问题化学习课堂中学生的学科核心素养，我们要关注学生的学习是否真正实现了深度学习.我国黎加厚教授最早对深度学习概念进行界定，他提出：“所谓深度学习，就是基于理解性学习的基础，发展自身的学科思维，从而获取新的知识.”深度学习不是通过题海战术磨炼学生，而是从知识本身的结构推动学生的发展，深度较浅层学习来说，更加注重知识的理解与应用[1].

笔者于2021年12月参加了2021年“问题化学习”全国教育年会线上展示，执教了“弧长”一课，尝试在问题化学习课堂中促进学生的深度学习，受到了点评专家和与会教师的一致好评.现对课堂教学整理如下，与大家一同交流.

1 教材分析

1.1 教学内容

本课选自上海教育出版社九年义务教育数学课六年级第一学期第四章“圆和扇形”.本章内容是建立在小学直观认识圆的基础上，学习圆的周长的计算后，再从整体到部分，研究圆弧.这课的教学中需要渗透“由特殊到一般”的数学思想，它既是前面所学直观地认识几何形体特征以及有关计算的延续和发展，又为今后逐步由实验几何阶段转入论证几何阶段作好渗透和准备.因此，使学生学好这一知识，理解弧长公式的推导过程，提高运用公式进行计算的能力是十分必要.

1.2 教学目标

（1）通过观察，自主发现与聚焦核心问题，在合作交流中表达对弧长与圆心角、半径关系的看法;

（2）通过自主探究的方式推导弧长的计算公式，进行举一反三的追问，学会迁移应用，掌握弧长公式，并用公式进行有关的计算;

（3）在归纳推理中，寻找解决弧长问题的办法和路径，体悟由特殊到一般的数学思想.

1.3 教学重难点

（1）教学重点：弧长公式的推导和运用;

（2）教学难点：弧长公式的推导.

1.4 核心问题和问题系统分析

（1）核心问题：陀螺为什么会变成“七彩”;

（2）问题系统：（见图1）.

2 学情分析

“圆和扇形”这一章节内容是学生进入初中阶段学习后第一次接触几何部分的学习，学习是以直观认识为主，但需要学生逐渐养成用确切、简明的数学语言表述概念，并初步接触通过归纳推导出公式的方法.这些对于六年级的学生来说存在一定的难度，因此本课设计了弧长随着圆心角和半径的变化而变化的展示活动，以动态几何的观点，让学生的认识由特殊逐步上升到一般，从而推导弧长公式.

3 教学实录

3.1 观看视频，引出问题

师：这个周末，老师请大家回家尝试着做一下七彩陀螺，下面我们一起来观看小王同学的制作视频吧！

（观看七彩陀螺视频）

师：看完视频，大家有什么困惑吗？

生1：我的困惑是，为什么原本三色陀螺，转起来会变成七彩呢？

生2：陀螺可以被抽象成數学中的什么图形呢？

师：有人可以帮助他们解答吗？

生3：视频中同学调整了三个不同色块的大小，从而使得旋转后的颜色发生了变化.

师：那另外一个问题谁来解答呢？

生4：陀螺可以被抽象成圆.

师：大家说得都非常好，那么今天让我们一起来探讨七彩陀螺中的数学知识.

（教师呈现图片，见图2）

师：请在图中指出本节课的研究对象.

生5：（学生上台指着图片）本节课的研究对象是圆心角和弧AB.（学生齐声朗读PPT中的圆心角和弧的概念）

师：让我们一起来辩一辩，哪些是圆心角，哪些不是圆心角？请大家思考后将答案写在学习单上.（见图3）

师：请同学来分享想法.

（学生上台圈出了（1）和（2））

师：你来说一说为什么这两个是圆心角呢？

生6：圆心角的两条边应该是圆的半径，圆心角的顶点是这个圆的圆心.

师：那么判断圆心角的关键是什么呢？

全体学生：圆心和半径是否是圆心角的顶点和两条边.

师：先前同学回答过，七彩陀螺会变成七彩的原因是因为色块的大小发生了变化，那么你能说出色块的大小变化可以被抽象成圆中的什么元素在改变吗？

生7：就是圆心角变了.

3.2 合作探究，推导公式

师：刚才有同学还提到，本节课的研究对象还有弧，那么请问弧长受什么因素影响呢？

生8：弧长会受圆心角和半径影响.

师：那么它们之间到底有什么样的关系呢？请大家一起来观看一组动画.

（观看动画）

生9：在动画1中，我发现当半径不变时，弧长随着圆心角的变大而变大.

生10：在动画2中，我发现当圆心角不变时，弧长随着半径的变大而变大.

师：请问弧长和圆心角和半径有着什么样的数量关系呢？请大家根据学习单（见图4），进行合作探究，完成后请小组代表分享成果.

二、合作探究，推导公式

1.独立思考：请写出图中圆心角AOB的度数？并写出圆心角AOB的弧长是圆周长的几分之几？

2.小组讨论：圆心角AOB所对的弧长与圆的周长的比值和圆心角有什么关系？

3.推测：

（小组合作，教师巡视）组内追问记录：

生1：这个问题（见图5）我不太会填，你能教我一下吗？

生2：图中的圆心角是多少度呢？

生1：圆心角是360°

生2：圆的周角是多少度呢？

生1：圆的周角也是360°.

生2：那么圆心角与周角的比值是几呢？

生1：比值是1.

生2：这个图中的弧AB和圆的周长有什么关系呢？

生1：两者是相等的.

生2：那么弧AB和圆的周长的比值是几呢？

生1：比值也是1.

生2：那么你觉得圆心角与周角的比值和弧AB和圆的周长的比值有什么关系呢？

生1：它们是相等的，我明白了.

（小组讨论结束，学生代表上台分享成果）

师：通过讨论，你们小组得出了什么结论呢？

生11：通过六等分、三等分、二等分、不等分图中，根据特殊数值关系，我们猜测

因此，我组的结论是圆心角与周角的比值和弧长与圆周长的比值是相等的.

师：那么请大家继续讨论，你能用你学习过的知识根据上述等量关系，推导出弧长和圆心角、半径的关系式吗？

（小组讨论后，学生代表上黑板板演推导过程）

（1）半径越大的弧越长.

生13：我觉得这题是错的，因为弧长不仅和半径有关，还和圆心角有关.

（2）所对圆心角相同时，半径越大的弧越长.

生14：我觉得这题是对的.

（3）所对圆心角越大的弧越长.

生15：我觉得这题是错的，因为圆心角越大弧越长的前提是半径要不变.

3.3 运用公式，解决问题

师：既然我们已经搞清楚了弧长和半径、圆心角的等量关系，那么接下来我们一起来学习如何使用它，请看如下例题（见图6）.

1.如图，等边三角形ABC的边长为60毫米，以点C为圆心，60毫米为半径长画弧，求弧AB的长.（结果保留π）

师：要解决这个问题，我们先要解决什么问题呢？

生16：先要搞清楚圆心角和半径.

师：你能找到此题中的圆心角和半径吗？

生16：圆心角是∠C，半径是60.

师：你能说出∠C的度数吗？

生16：我没有找到已知条件.

师：谁能来帮助他一下呢？

生17：我觉得应该是60°.

师：你能解释一下吗？

生17：因为这是一个等边三角形，三个内角都相等，又因为三角形的内角和是180°，所以一个内角就是60°.

（学生集体口述过程，教师板书格式）

师：下面，请大家独立完成小练习（见图7）.

2.（变式）如图，等边三角形ABC的边长为27毫米，分别以A，B，C为圆心，27毫米为半径画弧，求这三段弧长的和.（结果保留π）

（学生独立完成，学生代表上台分享成果）

3.4 总结方法，感悟思想

师：通过本堂课的学习，你们解决了那些问题呢？请以小组为单位，一问一答说说大家的收获.

（组1）生18：弧长受哪些因素的影响？生19：弧长受圆心角和半径的影响.

（组2）生20：圆的周长和弧长有什么关系？生21：因为弧是圆的一部分，所以弧长与圆的周长之比等于圆心角与周角之比.

（组3）生22：弧长的公式是什么？生23：l弧=n180·πr.

（组4）生24：用弧长公式去解决问题的时候要注意什么呢？生25：应该要先找清楚半径和弧所对的圆心角.

师：大家的收获真是不少，真正进入到了我们数学的深度学习中了.

4 教学反思

在教师的引导下，学生在问题化学习课堂中，围绕具有趣味性、挑战性的数学学习主题，全身心参与到问题化学习各环节中，通过师生对话、生生对话，在一个个问题串中，寻找解决问题的办法，掌握数学知识，领会数学思想，他们是在真正地深度学习.为了帮助学生实现问题化学习课堂中的深度学习，笔者做了以下一些尝试.

4.1 创设情境，初步感知，提问题

课堂引入是数学教学的重要环节，在该环节中不仅需要激发学生的学习兴趣，还需要衔接教材内容来帮助学生顺利完成知识过渡，同时明确教学中心，为后续的课堂探究打下基础[2].六年级学生主要以直观认知为主，为了更好地帮助学生发现有趣数学问题背后的道理，请学生自己动手做一做“七彩陀螺”，利用课外资源寻找七彩陀螺变色的原因，并制作成视频与大家一同分享.从亲身经历出发，调动学生的学习积极性，并在实践中提出本节课的核心问题.

4.2 合作探究，组内追问，促理解

深度学习体现的是思维的提升，强调课堂中的“知其所以然”.“弧长”这节课的难点是弧长公式的推导，同时也是数学思想“由特殊到一般”的渗透.为了解决这一难点，课堂内采用四人小组合作探究的形式.在探究的过程中，当有的学生遇到困难时，组内学生通过追问的方式帮助理解.通过生生追问，再次激活学生的思维，促进他们进行更加深入的学习，让模糊的知识清晰化，让浅显的思维深入化，让被动的学习主动化，在大家互问互答的过程中，学生的学科思维得到了提升.

4.3 认识部分，对比整體，助衔接

在初中数学学习中，化归思想是最基本的数学思想，它能有效地促进学生的数学思维向高阶发展，在学生数学思维的提升方面起到非常积极的作用，对学生未来数学的学习和发展有着重要的意义，不但能提高学生解决实际问题的能力，而且能有效地培养学生养成学习数学的良好习惯[3].弧长与圆周长的关系是弧长公式推导的关键，它们存在部分与整体的关系，通过两者的关系，运用等式的性质，可以有效地解决弧长公式问题，这亦是之后理解扇形面积公式的关键.在课堂中，尝试通过从特殊的弧长出发，通过六等分、三等分、二等分、不等分图中，理解与分析出弧长与周长的关系与圆心角和周角有关.将未知问题已知化，将复杂问题简单化，这就是化归思想的魅力.

4.4 小组总结，自我反思，再升华

知识是思维的表象，通过知识能培养学生思维的成长，作为每堂课的点睛之笔，课堂小结尤为重要.课堂上尝试用小组一问一答的总结方式，帮助学生进行自我反思，分别从“什么是弧”“弧长受哪些因素的影响”“弧长公式是什么”“运用弧长公式要注意什么”等问题进行归纳与提炼，一个学生提问一个学生回答，促进学生自身思维的升华，这也是问题反思力的体现，即反思并发现自己有创意的学习路径、方法及策略，体现了独特、灵活的思路，升级了自己认知的方式.

参考文献

[1]何雅晴，赵育林.基于深度学习理念的初中数学教学设计——以“二元一次方程组”为例[J].中学数学，2022（04）：32-33.

[2]管培祥.情景引入，过程探究，习题强化，综合提升——以“直线与平面垂直的判定”为例[J].数学教学通讯，2020（15）：37-38.

[3]刘晓燕.“化归思想”在初中数学课堂教学中的应用探索[J].数学学习与研究，2021（30）：40-41.

作者简介

周益（1987—），女，上海嘉定人，硕士，中学一级教师;主要研究初中数学课堂教学.