2021年高考数学试题分析与2022年备考建议

广西南宁市教育科学研究所（530012） 黎福庆

高考评价体系是新时代高考内容优化的理论支撑和探索指南。高考数学试题以高考评价体系为命题指导，确定考查理性思维、数学应用、数学探索和数学文化，突出考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力。其具有基础性、综合性、应用性和创新性。在日常教学中，教师可通过创设课程学习情境、探索创新情境等落实考查要求。高考评价体系对高考数学备考指导具有重要意义。

一、2021 年高考数学试题（理科甲卷）考查特点

（一）以立德树人为主要目标，推动德智体美劳全面发展

1.具有“重基础、重应用、重时事、重生活”的特点，发挥实践与应用的作用

如第2 题：为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图1 所示的频率分布直方图。根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）。

图1

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

解题思路：利用频率分布直方图所给相关数据估计该地农户家庭年收入的平均值，可得答案C。

试题分析：考查内容为识图（直方图），要求学生学会从图中抽取相关信息，解决相应问题。此题的解题关键是看懂直方图中纵轴、横轴等相关含义。本题考查学生的数据处理能力。

高考评价体系分析：以乡村振兴为情境，通过频率分布直方图给出某区域农户家庭经济情况的调研数据，考查学生的数据处理能力，具有基础性和应用性的考查特点。

2.具有关注健康教育的特点

如第4 题：青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）。

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

解题思路：根据给定的L，V关系，当L=4.9 时，求出lgV，再用指数表示，即可求解，答案为C。

试题分析：构造一个新颖的初等函数，要求考生分析其概念、图像或性质，并解决与该函数有关的问题。

高考评价体系分析：围绕社会普遍关注的青少年视力问题设置问题，凸显身心健康是素质教育的主要内容，有利于促进学生增强身体素质，激发学生奋发向上的精神，体现了良好的指向性。本题考查学生的运算能力，着重培养数学应用和数学文化素养。

（二）体现从“知识立意”“能力立意”向“素养立意”的转变

数学是训练思维的基础学科，数学的应用已融入每一个人的日常生活。2021 年高考数学试题十分重视数学的应用价值，考查考生的应用意识，在致力于提高学生分析和解决问题能力的同时更注重发展学生的数学学科核心素养。

如第8 题：2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。如图2 是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°。由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为（ ）。

图2

A.346 B.373 C.446 D.473

解题思路：通过给已知图形添加辅助线，将所求量转化为求简单三角形，借助正弦定理知识，进行运算求解，得到答案B。

试题分析：利用正弦定理、余弦定理和三角公式等，基于转化思想、方程思想等，经过运算、推理，解决有关求线段长的问题。

高考评价体系分析：通过创设探索情境，考查平面几何基本性质和三角函数基本知识等内容。学生在解题时经历收集信息、加工信息、直观内化、运算、解决问题等环节。本题突出“读、想、画、算、写”的过程，考查学生发现、提出、分析和解决问题的能力，以及理性思维、数学应用等学科素养。

（三）增强开放性，探究创新

2021 年高考数学试题优化考查的内容，增强问题设计的创新性，凸显高考的树人导向，引导考生减少机械重复练习。

如第18 题：已知数列{an} 的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{an} 是等差数列；②数列是等差数列；③a2=3a1。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。

解题思路：选①③做条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，再结合等差数列的定义可证；选②③做条件证明①时，设出=an+b，结合an，Sn关系求出an，根据a2=3a1可求b，进而可证{an}是等差数列。

试题分析：通过创设创新情境，利用等差（等比）数列的定义、性质以及函数的性质等知识，基于转化思想和方程思想，经过变形证明问题。

高考评价体系分析：通过探索生活中的两类基本数列模型，了解数列是存在递推规律对象的数学模型。学生应掌握数列通项公式和求和公式的运用技巧。本题考查学生的逻辑思维能力和运算能力。

（四）小口切入，深入挖掘

如第20 题：抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P,Q两点，且OP⊥OQ。已知点M(2,0)，且⊙M与l相切。（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切。判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由。

解题思路：根据抛物线与x=1 相交可设出其标准方程，再利用对称性设出P，Q坐标，由OP⊥OQ求出P坐标，再由⊙M与直线x=1相切求半径，得结论；对于第（2）小题，先考虑A1A2的斜率不存在，根据对称性即可得出结论；若A1A2，A1A3，A2A3的斜率存在，由A1，A2，A3三点在抛物线上，可将直线A1A2，A1A2，A2A3的斜率分别用纵坐标表示，再由A1A2，A1A2与⊙M相 切，得 出y2+y3，y2y3与y1的关系，从而求出M点到直线A2A3的距离，即得结论。

试题分析：本题原型为已知一条直线和一条圆锥曲线的方程以及相应的几何关系，第（1）问考查求含参曲线的方程，第（2）问考查曲线在运动过程中的定值问题等。试题以创新情境为导向，利用抛物线的某些性质或代数形式，通过列方程（组）求解，求其代数形式和几何性质问题。此题从考查抛物线的概念及简单几何性质入手，问题解决切入口小，思维深度层层递进，考查学生分析和解决问题的能力。

高考评价体系分析：选择抛物线和直线为研究对象，从几何特殊点出发引直线，选取恰当的参数值，提出与其中的线段关系或角有关的数量关系问题，考查与点、直线、曲线有关的几何量的计算，历经代数式、方程式以及函数解析式的变形，从而更好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力和数学建模能力，提升学生的理性思维、数学应用、数学探索、数学文化四类学科素养。

（五）突出理性思维，考查关键能力

如第21 题：已知a＞0 且a≠1，函数f(x)=(x＞0)。（1）当a=2 时，求f(x)的单调区间；（2）若曲线y=f(x)与直线y=1 有且仅有两个交点，求a的取值范围。

解题思路：首先求导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性。其次利用指数对数的运算法则，将曲线y=f(x) 与直线y=1 有且仅有两个交点等价转化为有两个不同的实数根，即曲线y=g(x)与直线有两个交点。最后利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负、零点和极限值分析g(x)的图像，得到0 ＜而这正好是0 ＜g(a)＜g(e)，根据g(x)的图像和单调性可得到a的取值范围。

试题分析：利用函数及其导数的概念、性质，通过列方程或不等式，解决有关问题，考查学生的推理能力。

高考评价体系分析：理性思维是数学素养中的核心内容。解题过程突出理性思维，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，很好地将数学应用、数学探究等导入理性思维的轨道上。

二、2022年高考备考建议

（一）夯实基础，落实“四基”

根据教材弄清知识的来龙去脉，让知识结构更清晰。研究近年来的高考数学全国卷真题，复习高中阶段所学知识的过程应是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。在高一、高二阶段的数学课中，教师主要以知识点依次传授讲解为主线索，因为后面的相关知识还没有讲到，所以不能进行纵向联系。基于此，学生学到的是零碎的、散乱的知识。因而，在高三复习时，教师应明确教学主线是知识的纵向联系与横向联系相结合，以确保学生掌握基础知识和基本技能。

（二）深入研究高考真题，倡导“五个一”教学

将近年来的高考数学全国卷真题按照内容分类，归纳各类试题的题型结构；结合高考评价体系的考查特点；将高考题改编变式，归纳出试题“模胚”并分析解答过程得分点。

1.说一说。谈谈相关问题的特点、近期的考情等。

2.练一练。以高考真题及其变式和教材中的典型问题为联系内容，约8分钟现场完成训练。

3.讲一讲。将一道高考真题或变式题作为例题，指导学生审题，分析解题思路，找到解题时需使用的基本公式、基本方法，指明规范表达解题过程的重要性。

4.测一测。给出相关变式题或高考真题，让学生现场用10 分钟的时间解答，之后再给出详细的答案。

5.归一归。引导学生归纳试题命题方法及试题考查特点，并思考：如何提高书写速度？小题如何变式？大家存在的主要问题及还需注意的地方有哪些？

（三）基于三个“常规化”有效备考

1.小题训练常规化。年级统筹安排每周一个约50分钟的小专题训练。

2.章节统测常规化。每上完一章及时统测一次。统测题由一名骨干教师命制、一名老教师审阅，以确保其科学有效性。

3.集中辅导常规化。统筹安排每周一个晚自习时间段进行集中辅导。

以上只是笔者的粗浅认识，不当之处，请同行批评指正并提出宝贵意见。