在探究和思辨中凸显理性精神
——《平行四边形的面积》教学设计（一）

文|谈 莹

【教学内容】

苏教版五年级上册第7、8页。

【教学过程】

一、复习引入，激活已有知识和经验

师：同学们，我们已经掌握了计算长方形和正方形面积的方法。回忆一下，长方形和正方形的面积是怎么计算的？

生：长方形的面积是长乘宽，正方形的面积是边长乘边长。

师：瞧，这是什么图形？（平行四边形）关于“平行四边形”，你觉得平行四边形面积的大小会与什么有关呢？（如图1）

图1

生：平行四边形的面积与底和高有关。

生：平行四边形的面积与长边和短边有关。

师：是这样吗？今天这节课我们就一起来研究它。

【设计意图：在研究平行四边形的面积之前，学生已经在三年级时积累了很多“计算长方形和正方形面积”的经验，在四年级认识平行四边形时又积累了“把一张平行四边形纸剪成两部分，再拼成一个长方形”的经验。众所周知，长方形是特殊的平行四边形，因此，在“平行四边形面积”的导入环节，选择复习引入，激活学生的已有知识和经验。对于平行四边形的面积公式，在课前调查中，不少学生已经知道了是底乘高，个别学生会因为长方形面积公式的负迁移，认为是长边乘短边。因此，直接抛出问题：你认为平行四边形的面积与什么有关？在探究之前的回答都是一种猜想，具体与什么有关，有什么样的关系，还需要进一步探究。】

二、自主探究，探寻平行四边形面积计算公式

师：刚刚有同学认为平行四边形的面积与底和高有关，还有同学认为与长边和短边有关，究竟与什么有关呢？有什么样的关系呢？想怎样探究呢？老师给每个小组准备了一些学习材料，我们一起看一看！

（学习材料：形状各不相同的平行四边形纸4张，剪刀，透明方格纸，可活动的平行四边形）

师：在研究时，你可以借助这些材料帮助你证明平行四边形的面积与什么有关，有什么样的关系。也可以借助学习材料帮助你证明平行四边形的面积与什么无关。选择你们喜欢研究的问题，开始四人小组探究吧！

（学生操作交流）

【设计意图：学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。这节课主要探究平行四边形的面积计算公式，但很多学生在课前就已经知道了平行四边形的面积等于底乘高，不仅如此，还有很多学生知道了如何转化平行四边形得出计算公式。既然如此，不妨给学生提供一些学习材料，把探究的主动权交给学生，激发学生的探究欲望和学习积极性。在探究问题的过程中，让已经掌握知识和技能的学生带动对平行四边形面积计算还不熟悉的学生，让学生自主探索、互助交流，潜移默化地提高学习能力，培养合作意识。】

三、全班交流，凸显“转化”思想

师：哪个小组先来分享？

组1：我们组通过操作，认为平行四边形的面积与底和高有关。（如图2）把这个平行四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，然后平移直角三角形，就拼成了一个长方形。长方形的长就等于平行四边形的底，长方形的宽就等于平行四边形的高，平行四边形的面积就等于长方形的面积，所以平行四边形的面积等于底乘高。你们同意我们的想法吗？谁还有补充？

图2

组2：我们组也想到了剪、移、拼，但是我们剪的位置不同，（如图3）我们把平行四边形分成了两个直角梯形，然后平移一个直角梯形，也拼成了长方形。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，平行四边形的面积等于底乘高。谁还有补充？

图3

师：大家的剪、拼方法不完全相同，这些方法之间有相同的地方吗？

生：都是沿着平行四边形的高把平行四边形分成了两部分。

生：都用到了平移。

师：为什么要沿着平行四边形的高分割平行四边形？

生：因为沿着高分割，才会出现四个直角，有四个直角才会变成长方形。如果斜着分割，拼出来的还是平行四边形。

师：将平行四边形通过“剪、移、拼”变成长方形，这个过程就叫转化。那老师还想问大家一个问题：任何一个平行四边形都能像这样转化成长方形吗？转化得到的“长方形”与“平行四边形”有怎样的联系？把你们刚刚研究的平行四边形放在一起再比较一下，讨论讨论。

（小组交流）

生1：我们小组讨论后发现我们几个人的平行四边形都不一样，却都能转化成长方形。因为平行四边形都会有底和高，只要沿着高剪，经过平移就一定能转化成长方形。

生2：在转化前后，平行四边形的形状改变了，但面积没有变。所以求平行四边形的面积就等于求长方形的面积，而长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。所以平行四边形的面积等于长方形的面积等于长乘宽就等于底乘高。

生3：我有补充，如果是这样的平行四边形，沿着竖着的高分割后，无法直接平移成长方形，但我们组想到了另一个方式，我们从上面分割成上下两部分，将上面的直角三角形平移过来就变成了长方形。所以，平行四边形的面积还可能是这条底乘这条底边上的高。（如图4）

图4

师：像这样想下去，所有的平行四边形都能转化成长方形。算一算，这个平行四边形的面积有几种方法计算？（如图5）

图5

生4：两种方法：15×8=120cm2，或者10×12=120cm2。

师：两种方法的背后是两种转化方式。（如图6）看来，平行四边形的面积不只有一个底乘它对应的高，还可能是另一个底乘对应的高。

图6

师：有没有小组研究了平行四边形与什么无关？

生5：我们组研究了平行四边形的面积与长边和短边的关系。同学们请看：（如图7）这里有一个长6厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积公式，可以算出这个长方形面积是30平方厘米。我这里还有一个长边6厘米、短边5厘米的平行四边形，如果平行四边形的面积是长边乘短边，那平行四边形的面积就应该是30平方厘米，我们通过数方格验证之后，发现平行四边形的面积小于30平方厘米。所以平行四边形的面积肯定不是长边乘短边。

图7

师：为了让大家看得更清楚，老师还带来一个透明方格纸，请仔细瞧，（如图8）长方形被拉动成平行四边形的过程中，什么变了？什么没变？

图8

生：高变了，面积也变了。

生：长边和短边都没有变，周长也没有变。

师：这就是为什么平行四边形的面积不能用长边乘短边的原因，在平行四边形被拉成长方形的过程中，长边和短边始终没有变化，但是面积变了。

师：经过今天的研究和发现，如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那面积公式可以怎么表示？

生：S=a×h。

【设计意图：数学学习往往会经历从具象到抽象、从特殊到一般、由感性上升为理性的过程。结合学生将平行四边形通过“剪、移、拼”变成长方形的具象，教师适时提出问题“不同的剪拼方法之中有什么相同的地方？”“为什么要沿着高剪？”从具体的转化操作中凸显转化的本质，思考平行四边形和转化得到的长方形之间的联系是“形状变了，但面积不变”，将复杂的问题转化为简单的问题。接着，教师又提出新的问题“是不是任何一个平行四边形都能像这样转化成长方形？”引导学生经历从特殊到一般的演绎推理，发现不只手中的平行四边形可以转化成长方形，所有的平行四边形都能等积转化，由感性上升到理性。最后探讨“平行四边形被拉动成长方形时，什么改变了，什么没变？”学生的学习材料中有可活动的平行四边形和透明方格纸，鼓励学生对错误的直觉“认为平行四边形面积会是长边乘短边”进行修正，并给出图8，让学生思考发现平行四边形被拉动前后，周长不变，面积随着高的变化而变化。整个师生交流过程紧紧围绕学生的探究和对问题的思辨，为理性思考埋下种子。】

四、变式练习，升华理解

师：知道了平行四边形的面积公式，我们来解决一些问题。

【设计意图：在练习中往往只会给出平行四边形的一条底和对应的高，学生不用思考只要记得公式就能正确计算结果，缺失了思维的锻炼。因此，第一题每个平行四边形都给出了三个数据，让学生结合今天的探究过程，有思考地选择有用的数据进行计算。第二题给出的三个图形面积相等，但形状不同。希望通过此题，学生能够在平行四边形面积公式上有新的发现，原来只要平行四边形等底等高，面积都会相等。尽管直觉上图（3）看着跟图（1）的面积不等，但通过比较和思考，发现图（1）和图（3）面积相等，凸显数学理性。】

五、全课总结

师：通过今天的研究，你有了哪些收获？还有疑问吗？