关于“理解数学把握本质”的几点思考

徐德同 黄金松

(1.江苏省中小学教学研究室 210013；2.常州外国语学校 213032)

在教学和研究中我们常提及“数学本质”，2019年第6期《数学通报》刊登了“数学教学如何突出数学本质”(下称文1)和“把握本质 精心设计”(下称文2)两文，读后受益匪浅.那么，什么是数学本质？教学中如何把握数学本质？

文1指出：“从哲学角度看，本质是事物存在的根据，是某类事物区别于其它事物的基本特质.通过事物的本质可以知道这个事物在整个事件中的作用和运作规律.因此，‘数学本质’就是指数学内容本身所固有的根本属性，是数学内容区别于其它学科内容的基本特质.”文1从哲学的视角给出了数学本质的一种解释，从方法论(学科育人)的视角看，数学本质是蕴含在“数学知识形成”和“数学问题解决”过程中的数学思想和数学精神，这种思想是“学习过数学的人应当具备的基本思维特征”[1]，这种精神是学科育人过程中应当彰显的数学的理性精神.

要很好地把握数学的基本思维特征、彰显数学的理性精神，就必须准确地理解数学，教学中从哪些视角理解数学把握本质？下面谈几点思考.

1 理解数学把握本质就是要厘清知识来龙去脉

数学中的知识大多有其发生、发展和完善的经历，讲这些知识前对知识本身要有深刻的理解，厘清知识的来龙去脉.对知识的理解不透彻，就不能挖掘其背后深邃的数学文化，讲起课来必然淡而无味，只能就事论事，就会把“光彩照人的数学讲成X光机下的骨架”.

一次“对数概念和运算”课上，教师说把以10为底的对数称为“常用对数”，以e为底的对数称为“自然对数”.“常用对数”学生都能意会，而“自然对数”则很唐突，有学生问“为什么以e为底的对数叫自然对数呢？”一下子把老师问住了. 其实，这样的问题对高中生来说是他们质疑精神的自然流淌，即使没人提出来，他们心里也是存疑的.

尽管是高一，和学生谈谈极限，谈一些诸如e的发现、对数的发明及其重要价值等史料是很有必要的，知史可究源，究源可明本.高中是培育质疑品质的关键时期，围绕知识本质的讨论往往更能吸引学生自发地参与研究，《学记》中说的“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”就是这个道理.

厘清知识来龙去脉是理解数学把握本质的基础前提.

2 理解数学把握本质就是要合理揭示学习之因

史宁中先生指出：“任何一个概念、方法的引入必然有它的必要性，硬性规定对培养孩子思考能力、核心素养都不利.”简单地说，就是要让学生明白为什么要学习这些知识，从“为什么学”中体会数学发展的轨迹，探索学习数学、研究数学的路径，感悟数学与生活的联系.

以初中“分式的概念”为例.教材(人教版、苏科版等)是以几个生活中的情境为引子，抽象出相应的数学表达式，在此基础上归纳出分式的概念，这样的设计体现了数学来源于生活.但这不是我们学习分式最根本的原因，而是一种感性的认识，优点是创设了熟悉的学习环境，不足是学生不能从因果中体会知识的本源，不会有理性的感悟，没有揭示学习之本因.教学中，要让孩子们明白：“式”是“数”的一般化，是“数”的发展，对于“数”我们可以做加减乘除，对于一般化的“式”理应有相同的运算.两个整式相加、减的运算即合并同类项，其结果是整式；两个整式相乘的结果也是整式；那么，两个整式相除的结果是什么呢？找几个整式进行尝试，可以发现，结果有些是整式，另一些不是整式，但它们有很多共性，从共性中归纳分式的概念，再通过生活情境说明学习分式是有现实意义的，体现数学和生活的联系.

数学知识的形成往往是自然的，它的概念、原理、法则都有其内在的逻辑必然性.教学中要通过这样的案例，着力培养学生提出问题、发现问题的意识.章建跃博士指出：“中学阶段要培养孩子们自觉运用‘一般观念’进行数学学习与探究.”了解数学发展之路并运用类比的方式学习探究是“一般观念”的内涵之一.

合理揭示学习之因是理解数学把握本质的理性表达.

3 理解数学把握本质就是要深刻剖析概念内涵

笔者参与了苏科版义务教育数学教科书的修订工作，在调研中，有老师提出了一个很有意思的问题：在讲二次函数的图象时，“列表、描点、连线”作图法由于其局限性——描的点是有限的，只能大致刻画函数图象的走势和方位，连线的过程中，学生很难理解什么是“平滑的曲线”？

要理解“平滑的曲线”的内涵，先要清楚“平滑”的含义.《辞海》中“平滑”的反义词是“凸凹”，什么是“凸凹”？函数y=|x|在原点处的图象就是“凸凹”的，是不平滑的，局部是尖的.所谓“尖”就是图象的局部存在线段构成的角，如图(1)所示，这个角可以是锐角、直角或钝角.我们考察二次函数，图象上有这样的“尖”吗？以函数y=x2为例.作图时列出两点A(1,1)和B(2,4)，通过计算发现线段AB的中点M不在函数图象上，所以点A、B间的二次函数图象不是一条线段.一般地，在二次函数图象上任意取两点P、Q，线段PQ的中点都不在图象上，所以，二次函数的图象上是不存在线段的，也就没有“尖”， “平滑的曲线”就是连线的过程中不能有这样的“尖”.

图(1)

课标指出，要重视直观，处理好直观与抽象的关系.深刻的内涵剖析可以把抽象的难点形象化、直观化.教学中，我们甚至可以抛砖引玉：这样的曲线一般叫“光滑曲线”，若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数，其图象为一条处处有切线的曲线，则为光滑曲线.简言之，若f′(x)连续，则曲线光滑，至于何为导数，爱之者必习之.

教科书往往只给出符号化、文本化的数学概念，教学的任务就是深刻剖析概念的内涵，把复杂的、抽象的知识的文本形态转化为蕴含思想和精神的知识的教育形态.

深刻剖析概念内涵是理解数学把握本质的必由之路.

4 理解数学把握本质就是要准确理解数学思想

4.1 理解换元思想

通常我们讲的换元是将由一个或几个变量构成的数学表达式中的一部分用新的变量表示，以利于问题的解决.通过引进新的变量，利用不同的代换技巧，把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知的问题转化为已知的问题.不难看出换元的内涵(本质)是“转化”，换元的外延包括：整体换元(以“元”换“式”)、三角换元(以“式”换“元”)、均值换元等等.换元思想在数学中有着广泛的应用，中学阶段用得比较多的是整体换元.

4.2 渗透换元本质

求函数f(x)=4x+4-x-2x+2-x+1的值域时，学生产生设2x=t>0的想法很自然，是换元意识的体现(从表象看问题变简单了)，但换元的目的性还不明确，没有认识到要转化到已知函数模型.教学中我们要培养学生养成联想转化的意识，这种意识就是“学习过数学的人应当具备的基本思维特征”的内涵之一.那么，如何形成转化能力呢？能力不是一时一刻形成的，能力的形成应当落实在学习数学的全部过程之中. 如果我们在教学中能从代数式恒等变形的角度概括提炼类似框图中(1)(2)(3)这样的问题，如果我们课前能在知识的最近发展区设计类似的思考题组，那么孩子们可能会拥有更深邃的“数学的思维”，会想得更自然，会走得更远.

(1)已知x+y=1,求x2-2x+y2+2xy+2y的值.

……

准确理解数学思想是理解数学把握本质的重要内涵.

5 理解数学把握本质就是要科学认识数学方法

借助电脑(软件)作图，其本质是用机器代替人工大量描点的过程.

至于借助细线等工具结合定义法画图(比如画“圆”、“椭圆”等)，本质上还是“描点法”，只是隐去了坐标系和曲线的方程，把满足定义的点(用符号语言表示就是满足方程f(x,y)=0的点)描出来，而且描的点是无限的、连续的.

当然，实际画图时，我们可以发挥主观能动性，从代数的角度先研究方程对应图象的特征，来优化“描点法”的过程，以便少走弯路.

科学认识数学方法厚实了理解数学把握本质的学科底蕴.

6 理解数学把握本质就是要持续渗透理性精神

从一次问卷调查说起.π是数学中很重要的一个数，在小学和初一阶段，孩子们对π有怎么样的认识呢？笔者就此在一所优质初中做了问卷调查，调查对象是七年级学生，调查时间是小升初后一个月，调查问题是：π是什么？请写一写你对它的理解.调查结果如下表：

回答摘录π是一个字母π是3.14π是圆周率π是无理数(包括写:3.14…、无限不循环的数、π就像生活,3后面跟着一连串不循环的数,不经历你永远不知道下一刻会发生什么等等)π是圆的周长除以直径,结果是一个无理数 约占比2%4%40%50%4%

调查数据表明，了解π是一个无限不循环小数的比例很高，说明学生的基础认知很扎实，但仅仅有这样的认识是不够的，了解π是一个无理数仅仅是知识的表象，和孩子们谈π时，让他们知道π是一个无理数很重要，更为重要的是通过对π的学习，要能形成一个图式：π对应的是圆的周长与直径的比值,要让他们感悟到任何一个圆的周长与直径的比值都是一个常数.圆有千千万，周长和半径也随之变化，但千变万化中却隐含着不变的规律.正如张奠宙先生所说，世界是变与不变的矛盾统一，数学研究变化，却以找到其中的不变性为归宿，寻求并欣赏数学中无处不在的不变性质，领略不变量和不变性的内在魅力，是把握数学的钥匙之一.

克莱因把数学看成是“一种精神，一种理性精神.”齐民友先生认为数学精神集中地体现为“彻底的理性探索精神.”[2]张乃达先生指出：“理性精神，它表现为一种信念，表现为对真理的追求.它相信自然是可以被认识的，因此它反对愚味与迷信，反对神秘的不可知主义，它认为每个人都有认识世界的天赋，都可以认识世界.” 教学中，彰显知识的育人价值就是要让孩子们养成探求自然规律的意识和好奇心.

持续渗透数学理性精神是理解数学把握本质的永恒追求.

理解数学路漫漫兮，吾辈将上下而求索！