在解决“消防车调配问题”过程中理解数学建模

张文涛 林 健

(广东深圳中学 518024)

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1]强调学生综合实践素养能力的培养，并由此推动育人模式的改革.新课标把“数学建模”列为数学六大核心素养之一，而“数学建模与数学探究活动”作为高中数学课程四大主线之一，被列入必修与选择性必修课程.数学建模具有综合性强、与其他五大核心素养联系紧密的特点，是培养学生综合实践素养的重要内容.

数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，以课题研究的形式开展[1].但在指导学生开展数学建模活动时，发现学生普遍缺乏数学建模活动经验，面对实际问题往往无从下手，独立开展数学建模活动很可能就变成漫无目的的探索，因此需要教师运用实际案例，设计逻辑连贯、循序渐进的问题串引导学生有序开展数学建模活动[2].笔者在2021年广东省普通高中新课程新教材实施示范区示范校建设交流研讨活动数学学科课堂教学展示活动中开设了“消防车调配问题”示范课，整个课堂以逻辑连贯、具有思维挑战性的问题串，引导学生开展系列化的数学建模学习活动，结合课例探讨数学建模课堂教学环节应注意的问题.

2 案例呈现

笔者选择“消防车调配问题”作为数学建模课堂教学的载体有以下三个原因：(1)《新课程标准解读》中“案例7-8 反思建议方式产生问题”对学生的要求：高中学生除了解基础图论的有限知识(边、道路、交点的度，一笔画的判定等)外，还可以了解有向图、最小网络等，并思考定点接收问题，比如在什么地方设报警站？设取奶站？设小区超市等问题；(2)《普通高中数学课程标准(2017版)》中“案例13 分层抽样”对学生的要求：理解分层随机抽样的特点，探索快速、有效计算分层抽样数据均值和方差的方法；(3)数学建模案例的选择最好是学生身边常见的现象，这样可以激发学生的学习兴趣，同时解决问题所用的数学知识和方法大部分学生不陌生，可以提高学生的积极性.为了更好地落实课程标准的要求，培养学生运用已学数学知识解决实际问题的能力，精心编写了蕴含数学建模本质，反映学生实际生活和社会发展的真实数学建模案例——消防车调配问题.

2.1 问题情境

教师讲述“哥尼斯堡七桥”故事，重点介绍欧拉建立数学模型的过程以及该模型在数学史上的重要意义.然后引出问题情境：在我国南方，人们喜欢成村而居，但由于地形与交通等原因，村落分布较零散，因而必须考虑有限资源的优化分配.现有6个村落，受限于经济和人力成本，只有3辆消防车，请问应该将消防车停放在哪些村落？

2.2 问题分析与简化

问题1：欧拉解决“七桥问题”的过程对解决“消防车调配问题”有什么启发？

师生活动

(1)大多数学生模仿欧拉抽象“哥尼斯堡七桥”的过程将6个村落简化为6个点，中间用线连接，如图1所示：

图1

(2)教师提醒学生回想物理中“质点”的概念，并思考在什么情况下才能把一个物体看成质点.

(3)学生想到村落本身的大小相对于村落间的距离不可忽略.

设计意图：学生面对现实问题往往束手无策，通过介绍欧拉建立数学模型解决七桥问题的过程给予学生启发，引导学生通过类比、模仿到尝试解决问题.

问题2：你认为应该按怎样的指标确定消防车的位置？

师生活动

(1)教师引导学生思考、讨论，并挑选学生分享.

(2)学生根据生活经验想到“到达失火现场的时间应该尽量短”.

(3)教师总结：选择“发生火灾后，消防车应该在最短时间内到达失火村落”作为最优目标.

设计意图：数学建模问题的提出和叙述往往是原始的、粗糙的，指标的表达比较笼统，需要建模者根据实际情境逐步调整并确定，这是数学建模的一个难点.

问题3：影响消防车位置确定的主要因素有哪些？

师生活动

(1)教师引导学生思考、讨论，并挑选若干名学生分享.

学生甲：村落间的道路交通情况.

学生乙：各村落的人口.

教师追问：为什么需要考虑各村落的人口？

学生乙：在失火时，人口多的村落应该优先救援.

同学还提出其他影响消防车位置确定的因素：村落的气候、房屋材质、到河流的距离等，老师给予鼓励并与学生讨论达到共识：建模时因素考虑太多会使问题很复杂，因此建模时首先考虑主要影响因素，即村落的人口和村落之间的行使时间，当这两个主要影响因素研究清楚时再考虑更多因素.

教师总结：村落间的道路交通情况决定了两个村落间的行驶时间；各村落的人口决定了不同村落的关照程度不同，因为人口多的村落失火概率也会高一些.真实问题非常复杂，还有很多其他的影响因素，但是我们在研究问题时应该重点考虑主要影响因素，舍弃一些次要的影响因素，将问题作适当的简化.

(2)教师：假设从一个村落到另一个村落所需的平均时间如表1所示，你有什么新的发现？

表1 从一个村落到另一个村落所需的平均时间(单位：分钟)

学生：两个村落间的往返时间不相等.

教师追问：为什么两个村落间的往返时间不相等？

学生：村落间的往返受到路况等因素的影响，可能导致往返时间不相等.

(3)教师：6个村落的人口分布如表2所示.数据非常多，联想之前抽象的村落示意图，怎样可以更加直观地呈现这些数据？

表2 每个村落的人口

学生：在之前绘制的村落示意图中标注数据.

(4)教师展示标注数据后的示意图(如图2).

图2

教师：观察图中的行驶时间，是否有不合理的地方？

学生：有些救援时间太长了，失火时会导致人们的生命财产遭受巨大损失.

教师：那到底多长时间算长呢？

学生众说纷纭：15分钟，12分钟，10分钟等等.

教师：数学建模一定要符合实际，这不能靠我们主观臆想.2017年公安部主编的《城市消防站建设标准》第十三条中提到，消防站布局一般应以接到出动指令后5分钟内消防队可以到达辖区边缘为原则确定，一般大城市都达到了这个标准，但是在农村，受限于距离和路况，这个时间会稍长一些.我们在这里确定8分钟为时间上限，据此可以删除上图中时间超过8分钟的有向线段得到以下简化的图3.

图3

设计意图：数学建模问题的条件往往不清晰，需要建模者自行分析挖掘.影响确定消防车位置的因素很多，首先应找出主要因素，忽略次要因素，再根据主要因素明确需要收集的数据.数据的呈现方式除了表格外还可以用图形，最后根据国家消防要求(公安部主编的《城市消防站建设标准》)，提出消防车接警后8分钟到达受灾地点的时间上限.

2.3 模型建立与求解

问题4：你认为有哪些停放方案可以实现8分钟全覆盖六个村落？

师生活动

学生通过分析，可以在20种方案中找到11种8分钟内全覆盖的停放方案，如表3.

表3 符合标准的方案

方案消防车停放村落8A、D、E√9A、D、F√10A、E、F√11B、C、D√12B、C、E√13B、C、F14B、D、E√

方案消防车停放村落15B、D、F√16B、E、F√17C、D、E18C、D、F19C、E、F20D、E、F

设计意图：根据模型分析和简化的结果，找出所有可能的停放方案.

问题5：你会如何确定消防车分配的最优方案？

师生活动

(1)教师：以方案3和方案5为例，你会选择哪个方案作为消防车分配方案？

(2)学生分组讨论，教师观察各组，适时提示学生选取一个合适的评价指标量化最优目标.

表4 各种方案下的平均救援时间

方案消防车停放村落平均时间11B、C、D3.0412B、C、E3.1314B、D、E2.8715B、D、F3.0416B、E、D3.26

(5)学生：方案3的平均救援时间最短，所以选择将3辆消防车停放在A、B、E村落.

设计意图：确定评价目标，实现从定性到定量的跨越，这也是本节课的难点.直接给出问题5很容易让学生找不到方向，所以增加设问，以比较具体的两个方案为铺垫，降低难度，避免思维跨度过大.课堂上要留足学生讨论交流的时间，鼓励学生发表各自观点，在学生回答基础上互动追问，不断启发学生的思维.

2.4 模型分析与检验

问题6：从实际应用的角度考虑，你认为方案3存在什么问题？

师生活动

(1)学生发现方案3中E村落的消防车需要覆盖D、E、F三个村落共1100人，如果其中2个村落同时失火将无法兼顾，损失更加惨重.

(2)教师总结：如果考虑更多因素，模型还可以进一步优化；数学建模的结果还需进行检验.

设计意图：完整的数学建模并不是得出结论就完成了，还应该包括模型分析和检验，在这一过程中培养学生严谨的科学精神.

2.5 模型应用

问题7：你认为解决“消防车调配问题”的数学模型可以应用到哪些场景？

师生活动

(1)教师：数学建模结果经过检验后就可以进行实际应用，而且同一个模型还可能应用到不同场景，比如我们今天建立的模型还可能应用到哪些场景？

(2)学生提出以下场景：学校选址、救护车调配、110警务室选址、地铁站选址，以及新课标解读中小区报警站、取奶站、小区超市等选址问题.

设计意图：通过联想其他应用场景加深对本模型的理解，通过举一反三进一步发展学生数学建模素养.

2.6 课堂总结

问题8：通过数学建模解决“消防车调配问题”，你对数学建模有怎样的认识？

师生活动

(1)围绕以下两个问题，教师请若干名学生谈谈对数学建模的认识.

①什么是数学建模？

②数学建模和数学应用题有什么区别？

(2)教师总结：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题.

数学建模和数学应用题的区别主要体现在以下四个方面：

①问题呈现的方式不同：数学建模问题更贴近现实，提出和叙述往往是原始、粗糙、不规范的，其目标的表达比较笼统；而应用题叙述严谨，目标明确；

②已知条件的清晰度不同：数学建模往往面对的是没有特定已知条件的问题背景，需要建模者根据情况自己分析问题并提出假设，并对问题进行简化；而数学应用题已知条件是明确的，不需要提出假设和简化；

③结果评判方式不同：数学建模没有标准方法和标准答案，不同人可能建立不同的数学模型，合理的方法和结论就是好的模型；而数学应用题有一致的正确方法，有唯一正确的答案；

④问题解决的复杂性和综合性不同：数学建模面对的是庞大复杂的实际问题，对建模者综合能力要求更高、更全面.

设计意图：帮助学生进一步认识什么是数学建模，明确通过数学建模解决实际问题和解应用题的区别，理解数学建模的过程与步骤.

2.7 课后作业

(1)完成本课题的研究报告，增加更多影响因素，进一步优化模型；

(2)拓展研究：如果现在只有2辆消防车可以调度(有1辆要做紧急状况下使用)，应该把2辆消防车停放在哪两个村落？

3 小结

课程标准指出，数学建模活动与数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体.教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新、从局部实施到整体构想.我们认为，“从类比、模仿到自主创新、从局部实施到整体构想”的实施路径是非常稳妥的.笔者设计的这个案例，与课程标准的这个要求相吻合.在学生还没有太多的数学建模活动经验的时候，我们设计了由8个具有内在逻辑关联的问题串，使数学建模的要素与环节自然地体现在建立数学模型解决问题的过程中.经过几轮的实践检验，取得了比较理想的效果.

在设计问题串时我们主要关注了以下几个问题：首先，注重以数学建模活动的本质特征为线索，先明确数学建模的目标，再考虑影响因素，为收集数据、建立模型奠定基础，引导学生按照数学建模的一般过程开展数学建模活动；第二，由于通过数学建模解决问题的条件、模型与结论均开放，所以没有标准答案，因此设计问题串时充分考虑了学生的生活经验、认知水平和数学能力等因素，给学生自主思考留足空间，以利于学生自主探究、充分讨论与交流，激发学生的创新思维；第三，特别重视引导学生经历“问题情境—问题分析与简化—建立模型—求解模型—模型分析与检验—模型应用” 的完整过程，为学生理解数学建模，积累数学建模活动经验，形成数学建模的“一般套路”，发展数学建模素养打下坚实基础.