经历数学建模 发展高阶思维
——以“用一元二次方程解决问题(1)”为例*

胡永强

(江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

1 问题提出

高阶思维是指完成复杂任务、解决劣构问题的一种重要能力和心理特征，是21世纪的一种高级综合能力[1].高阶思维是核心素养的重要组成部分，是个体适应终身发展和社会发展的关键能力.但是由于高阶思维指向布鲁姆教育目标分类中的分析、评价、创造这三个高层次目标，所以它无法通过简单的知识传授来培养，而是需要在开放性问题情境中与他人进行探索性对话和建构式互动提高[2].可见高阶思维很重要，各学科都应当努力培养，但是鉴于高阶思维的特征，现实教学中培养高阶思维又存在诸多困难.

数学高阶思维是高阶思维的重要组成部分，包括数学批判性思维、数学创造性思维、数学元认知能力、数学问题解决能力四个维度及其下辖的“寻找真相、开放思想”等十六个因子，如图1所示.总体来说，在学习数学的过程中有目的地对现有的数学过程、结果等作出自我分析、判断、推理、解释、调整的品质；在已有知识经验的基础上，创造想象并运用思维揭示数学对象的本质，产生新颖独特的思维成果的过程；对自身数学认知进行计划、实施、监控、调节的过程；综合运用掌握的数学知识解决新的问题情境的能力[3]都属于数学高阶思维的范畴.

图1

数学建模是通过建立模型的方法解决现实问题的数学活动过程，包括“现实原型—实际模型—数学模型—模型求解—检验解释”等环节[4].受学力所限，初中阶段的现实问题可分为三类：现实原型、实际模型、数学形式[5].在数学建模教学过程中，教师需要引导学生有目的地对现实问题加以分析、简化、假设，抽象建立数学模型，再对数学模型进行求解，然后代入现实问题进行检验、调整，如此不断循环，直到解决问题为止.

不难发现，数学建模与数学高阶思维联系紧密.数学建模激发数学高阶思维，数学高阶思维促进数学建模顺利完成，二者相辅相成.

近期，笔者开设了一节“用一元二次方程解决问题(1)”的研讨课，尝试在数学建模教学中发展学生高阶思维.下面谈一谈相关实践与思考.

2 教学分析

2.1 教材分析

本课是苏科版初中数学教材九年级上册第1章第4节用一元二次方程解决问题的起始课，包括“等周矩形面积”和“平均增长率”两个问题.教材将“矩形面积”放在首要位置既遵循了数学知识的历史发展顺序，又遵循了学生的认知心理顺序.众所周知，数学中的二次问题起源于图形的面积计算，“矩形面积问题”起点较低、内涵丰富、对后续数学知识发展作用较大；其次，这样的设计遵循了学生的学习规律，让学生通过对该问题学习总结出用一元二次方程数学模型解决问题的一般方法与步骤，发展数学建模能力，提升数学高阶思维，培养数学问题解决能力.基于以上分析，笔者决定本课组织学生深入探究“矩形面积问题”.

2.2 学情分析

授课班级来自地级市一所普通初中，共有48名学生，他们数学基础较好，有着良好的数学探究习惯.在本课之前，学生已经掌握一元二次方程的相关概念和解法以及用一元一次方程解决实际问题的一般步骤等知识与技能.

2.3 教学理解

本课内容具有丰富的教学价值.首先，本课是该小节的起始课，学生通过对本课内容的研究，总结提炼出用一元二次方程解决问题的一般思路、方法和步骤等内容，对后面几节课的学习起到奠基作用；其次，用一元二次方程解决矩形面积问题的过程中蕴含了抽象、符号化、求解、检验等数学建模的重要环节，对学生数学建模能力提升起到促进作用；再次，对相关内容的深入追问与辨析对发展学生的批判性思维、创造性思维、元认知能力及问题解决能力等数学高阶思维起到推动作用.本节课的主要教学脉络确定为引导学生经历审题、列代数式、找等量关系、列方程、解方程、检验解释等数学建模环节，在此过程中感悟模型思想，发展数学高阶思维.

3 教学过程

3.1 温故知新

课前布置学生对本章前面3小节内容进行回顾和梳理，绘制知识结构图，上课伊始展示几位同学的作品(略)，结合作品简要回顾前面所学内容.

教学意图布置前置性知识梳理作业的目的是培养学生对所学知识和方法的自主回顾和重组能力，帮助学生积累反思性活动经验，为学习新知识调取研究经验，发展学生的系统化能力、求知欲、元认知体验等数学高阶思维.

3.2 模型初探

问题12021年是中国共产党成立100周年.为了纪念建党100周年，某校打算建一个周长为100 m的矩形展馆以向学生展示党的百年光辉历程.问：(1)该矩形展馆的面积能否是 600 m2？(2)该矩形展馆的面积能否是700 m2？请说明理由.

教师引导学生先回顾用一元一次方程解决问题的一般步骤，再画出矩形示意图，并结合图形及条件列出表示矩形长和宽的代数式，进而根据矩形面积公式列方程、解方程、检验作答，最后总结出用一元二次方程解决问题的一般步骤.

教学意图引导学生经历引入未知数，结合周长列出矩形的长和宽的代数式，再根据矩形面积公式建立方程解决问题等环节，体会数学建模过程；用方程根的判别式小于0，方程无实数解，说明无法围成面积为700 m2的道理.培养学生分析能力、系统化能力等数学批判性思维及表达清晰性、答案正确性等数学问题解决能力.此外，将教材中用铁丝围矩形的情境改编为纪念建党100周年建矩形展馆的情境，在现实情境中融入党史知识，渗透思想教育.

追问1：同学们，你能结合问题1提出一个新问题吗？

学生提出“围成矩形的最大面积是多少？”教师组织学生思考这个问题，有学生指出用“列举法”和“配方法”解决.

追问2：还有其他方法吗？

有学生回答：可以用假设法来做.易知矩形的长加宽为50 m，所以可设矩形的长为(25+x)m，宽为(25-x)m，面积为(25+x)(25-x)=(625-x2)m2，显然，当x=0时，矩形面积最大，为 625 m2.教师表扬学生的方法，并指出这种方法与公元前1700年古巴比伦人的方法一致，此法名叫“和差术”，在没有符号代数的年代，两河流域的先民们都是用“和差术”这种方法模型解决此类问题的.

教学意图问题1是一个蕴含丰富数学知识、思想和方法的历史名题.在解决前两个问题之后，设计追问1，趁热打铁，将学生的思维引向更深处.当学生提出用“列举法”和“配方法”解决该问题之后，设计追问2，给学生提供思考和创新的舞台，使学生想到了“和差术”这种解决等周问题的方法模型.两次追问，在培养学生提出问题、分析问题能力的同时，促使学生对“和差术”这一方法模型的理解更加深刻，思维变得灵活和新颖，发展了数学创造性思维.当教师点明这种方法与古代数学家的方法一致时，学生感受到了成功的喜悦，增强了数学求知欲.

3.3 模型变式

问题2如图2，用长为30 m的篱笆围成一边靠墙的矩形养鸡场，即矩形ABCD，已知墙长16 m，能否围成面积为108 m2的矩形养鸡场？如果能，求出AB的长；如果不能，请说明理由.

图2

教师引导学生先思考问题2与问题1的异同之处，再让学生独立思考、完成解答.随后展示设AB=xm和设AD=xm两种解法，组织学生比较、交流二者的优缺点.

追问1：你还能提出一个新的问题吗？

学生提出“围成的矩形养鸡场的最大面积是多少？”学生大都采用配方法求最大值.

追问2：能否使用“和差术”求最大值？

图3

追问3：你是怎样想到的？

学生：问题1中的长加宽是定值，可以使用“和差术”，本题中的半条长加宽也是定值，因此想到作长的垂直平分线将其转化为问题1的类型解决.

追问4：问题1与问题2有何异同之处？

学生在独立思考和小组交流后回答，相同点是：它们都是固定长度下的面积问题；不同点是：一个独立围成矩形，另一个借了一条线再围成矩形.教师点明这两个用固定长度的线围矩形问题是数学中的“等周问题”之一，还可以围成其他形状的图形，课后再研究.

教学意图教学中先展示两种设未知数的解法，对两种解法对比分析，发展学生批判性思维.添加辅助线将问题2转化为问题1，使用“和差术”这一方法模型求出面积最大值，提升了认知成熟度，也体现了数学创造性思维中的灵活性.追问3较好地发展了学生的策略合理性、表达清晰性等数学问题解决能力.追问4提升学生系统化能力及元认知体验等数学高阶思维，最后对“等周问题”加以拓展，将课堂延伸到课外.

问题3在问题2的基础上，若AB上有一个2 m宽的小门，即图4中的EF.问：能否围成面积为110 m2的矩形养鸡场？如果能，求出该养鸡场的长和宽；如果不能，请说明理由.

图4

师生共同分析问题3与问题2的区别和联系，再讨论2 m宽小门对表示矩形长和宽的影响，最后完成解题过程.

教学意图该问题的目的是引导学生探究如何用字母正确表示出矩形的长和宽.当学生出现错误时教师不要急于给出正确答案，而是把机会留给学生，让学生深入思考、相互交流、加以辩论，较好地发展学生的数学批判性思维及策略合理性、表达清晰性、答案正确性等数学问题解决能力.

3.4 小结与练习(略)

4 教学思考

4.1 设计深度合宜问题，发展数学批判性思维

数学高阶思维是高层次认知过程中心智活动的综合性能力.高层次认知过程需要深度合宜的问题加以驱动和助力.教师要根据内容及学情设计深度合宜的问题发展学生的数学批判性思维.如问题1中对无法围成面积为700 m2的矩形的解释促进学生寻找真相、增强分析能力；引导学生围绕问题1提出新的问题并使用不同的方法解答，激发了学生的开放思想、求知欲；对使用“和差术”解决等周矩形问题的总结、应用及拓展，增强了学生的批判性思维的自信心、认知成熟度及系统化能力；对问题2两种设未知数方法及问题3的两种表示结果的讨论过程充满了辨析、质疑.教学过程中教师应在原有问题基础之上根据课堂生成情况，鼓励学生主动提出问题，引导学生思考、质疑、讨论、总结，推动学生数学批判性思维的发展.

4.2 不断进行课堂追问，激发数学创造性思维

对于课堂教学中的关键问题，在恰当的教学时机之下，教师需要对学生进行不断追问，以激发学生数学创造性思维的产生与发展.如在问题1解决之后随即追问学生“请你再提出一个新问题.”“还有其他方法吗？”第一个追问激发学生提出“等周问题”这一重要的数学问题，第二个追问促使学生想到运用“和差术”这一方法模型巧妙解决问题.问题的提出自然流畅，问题的解决新颖灵活.在学生使用配方法解决问题2中求矩形最大面积后追问学生“能否使用和差术求最大值？”促使学生想出通过作线段AB的垂直平分线，将其转化为上一问题，从而迎刃而解.通过教师的追问让学生再次体会到灵活性、新颖性的创造性思维给自己解决数学问题所带来的成就感与满足感，体会到数学的魅力，在培养数学创造性思维的同时，增强学生学好数学的内在动力.整节课都十分注重追问学生，引导学生思考，在培养学生分析问题、解决问题能力的同时，利用追问培养其发现问题和提出问题的能力及数学创造性思维[6].

4.3 围绕数学建模过程，提升数学问题解决能力

数学建模是利用数学知识解决实际问题的活动，数学建模能力的提升正成为全世界数学教育的一个中心目标[7].学生数学建模能力的培养不是一蹴而就的，需要教师精心组织和引导学生经历解决问题中的抽象、符号化、求解、检验等环节，也即引模、建模、解模、验模等具体建模环节(图5)，以此培养学生的数学建模能力.

图5

数学高阶思维的四个组成要素是一个有机整体.数学问题解决能力既是数学高阶思维运转的出发点，也是数学高阶思维发展的归宿；数学批判性思维和数学创造性思维是发展数学高阶思维的两大动力系统，二者相互融合，共同推动数学高阶思维不断向前发展；数学元认知能力是数学高阶思维的中枢系统，指挥和调控整个数学高阶思维在正确轨道上运行.

如图6所示，数学建模是发展数学高阶思维的“心脏”.数学建模的每个环节都不同程度地 促进了数学高阶思维的发展.引模环节需要对现实问题进行分析、对比、辨识，促进分析能力、寻找真相、求知欲等高阶思维的发展；建模环节需要对现实问题进行抽象、符号化，促进表达清晰性、策略合理性等高阶思维的发展；解模环节需要正确解出数学模型，促进认知成熟度、流畅性、清晰表达等高阶思维的发展；验模环节需要将所求结果代入现实问题加以检验、反思、调整，促进批判性思维及元认知能力等高阶思维的发展.由此可见，整个数学建模过程都促进了数学高阶思维的发展.

图6