两量子比特与单模光场耦合系统的精确解

丛红璐, 王林杰， 赵玉娜, 王健莹， 任学藻

(1.沧州交通学院 通识教育学院， 黄骅 061199；2. 西南科技大学 理学院， 绵阳 621010)

1 引 言

Rabi模型描述的是一个二能级原子与单模腔场的相互作用[1]，是物质与光场相互作用的最简单模型，该模型在物理学中应用广泛，例如，微波和腔量子电动力学(QED)[2]，量子点和电路QED[3]. 在理论和实验中，通常将Rabi模型进行扩展，例如N个二能级原子与单模光场相耦合的Dicke模型[4]和双光子跃迁的Rabi模型[5,6]等.

在理论上，研究Rabi模型的关键问题是能对系统能谱[5-10]和动力学问题精确求解[11]. 定态能谱问题的研究中，两组描述奇偶函数的G方程经常被用来求解Rabi系统的能谱[7-9]，从而研究能量本征值与G方程的关系，Judd等人提出了Juddian求解方法用来解决复杂情况下Rabi模型的能谱[10].

在量子信息处理中，需要使系统产生量子纠缠[12]. 但量子系统不是绝对孤立的，系统都不可避免地会与环境相互作用[13]，这将可能导致退相干从而降低纠缠[14]，尽管系统的相干损失是渐近的，但纠缠可以在有限时间内突然衰减到零，这种现象被称为Entanglement Sudden Death(ESD)[14,15]. Rabi模型演化问题对制备稳定高效的纠缠十分重要[16]，因此量子Rabi模型的理论研究已经非常广泛.但是在非旋波近似下，考虑偶极—偶极相互作用时的两量子比特Rabi模型的精确求解问题，尤其系统耦合强度处于强耦合区间纠缠的演化问题还较少研究.

本文第一部分在非旋波近似下建立两量子比特Rabi模型，对算符做Bogoliubov变换[17,18]，将波函数在相干态下展开[18, 19]，利用定态薛定谔方程求解能谱和波函数，并给出了能谱中能级为常数对应的解析解. 第二部分，在动力学问题中计算Wootters提出的纠缠度量方案Concurrence的演化[20]，分析了耦合强度和偶极作用等参数对量子纠缠的影响.

2 能谱和波函数求解

考虑两个能级间隔为Ω的二能级原子与频率为ω0的单模光场相耦合，为得到精确解，系统哈密顿量在非旋波近似下展开[7]：

(1)

(2)

式中|Ei〉和|Gi〉(i=1,2)是原子激发态和基态能级.

为使(1)式中算符转换到主对角线上，对原子能级做旋转变换，令：

(3)

式中|ei〉和|gi〉(i=1,2)是原子旋转变换后的激发态和基态，将(2)-(3)带入(1)得：

(4)

A=a+α,A+=a++α,

(5)

B=a-α,B+=a+-α,

(6)

式中α=g/ω0.将定态波函数按下式展开：

|ψ〉=|e1〉|e2〉|φ1〉+|e1〉|g2〉|φ2〉+

|g1〉|e2〉|φ3〉+|g1〉|g2〉|φ4〉,

(7)

式中：

(8)

(9)

(10)

(11)

cn、dn、en、fn是展开系数，N为展开项数，|n〉是数态，|n〉A和|n〉B是对应Bogoliubov算符A和B的数态，因此：A+A|n〉A=n|n〉A，B+B|n〉B=n|n〉B. 将(4)和(7)式利用薛定谔方程展开：

(12)

(13)

(14)

(15)

将(12)-(15)式分别左乘A〈m|，〈m|，〈m|和B〈m|，根据波函数的正交归一性得：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中A〈m|，〈m|和B〈m|为|n〉，|n〉A和|n〉B的复共轭，cm、dm、em、fm是正交归一化后的系数，m是常数，内积表达式为，

A〈m|n〉=〈m|n〉B=(-1)nDmn, 〈m|n〉A=

B〈m|n〉=(-1)mDmn,

(20)

其中

(21)

通过求解(16)-(19)式可得系统能谱E以及系数cn、dn、en、fn.

图1 系统能谱E的精确解.

(22)

[ω0(B+B-α2)]|φ2〉+

(23)

(24)

(25)

(25)式中的|φ4〉可用数态进行展开，即|φ4〉=|n〉.因此η=0时，图1所示能谱中总有一条能级曲线与耦合强度无关，能量本正值恒为E=n(n=0,1,2,3…).

在Dicke模型中，若考虑原子个数N=2，η=0，则Dicke模型转变成非旋波近似下的T-C模型. 在文献[8]中，将Dicke模型系统波函数利用平移对称性分别进行展开，通过两组基矢得到两组独立的能级，进而得到系统能谱. 若不考虑图1中E=n能量本正值对应的能级水平线，其余能级可由(22)-(24)式得到，通过本文方法得到的能级曲线与文献[8]进行对比，其结果完全相同.

3 含时问题

3.1 含时波函数求解：

设初始定态波函数为

|ψ(0)〉=(cosθ|E1〉|E2〉+

sinθ|G1〉|G2〉)|0〉,

(26)

式中θ为原子Bell态的角参数，下面将定态波函数向含时波函数转换，对定态波函数进行展开

dn|n〉|e1〉|g2〉+en|n〉|g1〉|e2〉+

fn|n〉B|g1〉|e2〉)],

(27)

式中ki是叠加系数. 联立(26)和(27)，与前文中定态问题求解过程类似，考虑(3)式原子能级旋转关系，对比各原子态|e1〉|e2〉、|e1〉|g2〉、|g1〉|e2〉和|g1〉|e2〉系数，并分别左乘A〈m|，〈m|，〈m|和B〈m|后整理得

(28)

(29)

(30)

(31)

通过求解(28)-(31)式可得到系数ki，进而得到含时波函数：

en|n〉|g1〉|e2〉+fn|n〉B|g1〉|e2〉)],

(32)

3.2 原子纠缠演化的精确解

两量子比特间的纠缠可写为[20]

(33)

图2为Ω/ω0=1，η=0.01，耦合强度不同的情况下纠缠C(t)的演化情况. 图中C(t)的数值表现出周期变化的规律，随g的增大C(t)曲线周期减小，计算可得C(t)演化周期T≈1/2g2. 在图2的等高图中可以看到，可无论g取值如何，纠缠均会出现ESD，随着g的增大，首次出现ESD的时间明显变短. 当g较大时，如图2(b)-(c)所示，纠缠最大值(C(t)=1)附近曲线出现微小不规则振荡，而且出现两个最大值区域，这是由非旋波项跃迁产生的复杂动力学特点所导致的[7]. 在不同时刻，但无论g取何值，C(t)的数值与参数θ的变化有周期性改变，并且也出现了ESD.

图2 g值不同时纠缠C(t)的演化. (a)g=0.1, (b)g=0.25, (c)g=0.5.

图3为Ω/ω0=1，g=0.02，θ=π/4，偶极作用参数η对两原子纠缠动力学特性的影响. 图中所示纠缠的数值C(t)同样呈现周期性，并且η增大，C(t)周期随之增加，通过计算可得C(t)演化周期T≈100η/g. 当η的数值较小时，如图3(a)-(b)所示，C(t)在峰值附近并不稳定，表现为演化曲线呈现微弱振荡，随着η的增大，如图3(c)-(d)所示，C(t)在峰值附近的微小振荡消失.η无论取何值，C(t)的最大值和初始值均为最大值1，纠缠没有出现ESD，并且C(t)最小值随着η的增大有所增加.

图3 η取值不同时C(t)的演化. (a)η=0.2, (b)η=0.5, (c)η=0.8, (d)η=1.

4 结 论

本文求解了两量子比特与单模光场耦合系统的量子特性. 在定态问题中得到系统能谱的精确解，通过研究发现能谱中一条能级与耦合强度无关，并且对波函数进行变换得到了该能级的解析解. 利用concurrence计算两量子比特的纠缠，分别讨论了耦合强度g、参数θ和η对C(t)的影响. 通过数值求解可知，C(t)演化具有周期性，文中分别给出C(t)的周期T(g)以及T(η,g)的关系.C(t)随g和参数θ的演化中出现ESD，当g较大时，非旋波项对系统显现，C(t)演化呈现出不规则振荡. 当η较小时，C(t)在峰值附近呈现微弱振荡，随着η的增大现象消失.η无论取何值，C(t)的最大值和初始值均为最大值1，没有出现ESD.