黄金分割主题化拓展性教学活动设计

金红江，王红权

（浙江省杭州高新技术产业开发区（滨江）教育研究院；浙江省杭州市基础教育研究室）

“会用数学的眼光观察现实世界”，就应该让学生在真实的情境中主动构建知识之间的联系；“会用数学的思维思考现实世界”，就应该设计有挑战性的学习主题，使学生沉浸在学习的过程中，获得思考的能力、合作的能力、学习的能力和迁移应用的能力，在提升能力的过程中获得数学学习的情感体验，实现“会用数学的语言表达现实世界”.主题化拓展教学以发展思维为核心，以提升素养为目的，能将课内、课外的零散知识组织起来，实现跨学科知识的融合，是落实“三会”的必由之路.本文以黄金分割为例设计一则主题化拓展性教学活动案例，供同行参考.

一、内容与内容解析

教学内容：黄金分割、黄金三角形、黄金矩形、正五边形、连分数、斐波那契数列，以及建筑和美术作品中的黄金比等.本节课安排在相似三角形、锐角三角函数等内容学习之后.

内容解析：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，比值约为0.618.因为这个比例最能引发美感，因此称之为黄金分割.现实生活中有许多美的事物都与黄金分割有着广泛的联系，它是培养学生发现美、创造美的典型素材.此外，黄金比不仅是线段比的延续，更与代数中的数列，几何中的等腰三角形、矩形、正五边形等有着密切的联系，它能让学生感受到知识之间的关联，体会无限分割、用有限估计无限的思想.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：构建黄金比与其他知识的联系，挖掘黄金分割背后的育人价值.

二、教学问题诊断与设计思路分析

学生已经知道了黄金分割的概念和尺规作图，但对黄金比与其他知识之间的联系尚不清晰.例如，连分数、斐波那契数列与黄金比的联系，尚需教师的启发和同伴的互助；从建筑、艺术和生活中有关黄金比的现实素材抽象、概括出黄金三角形、黄金矩形、正五边形等几何图形，对学生思维要求较高，也需要教师加以引导.此外，虽然学生经历了观察、抽象、概括和推理这一系列的学习，形成了一定的活动经验，但让学生独立设计创作构图，对学生的综合能力要求仍然较高.这些都是教师教学过程中需要面对的难点.

为了突破难点，教学设计从实际情境入手，设计了三个探究活动：赏析艺术作品，在活动中构建黄金分割模型；应用模型创建结构体系，在过程中提升能力；创作中迁移应用，在实践中发展素养.三个活动的设计遵循从局部到整体、从特殊到一般的原则，以问题驱动教学，问题设置层层深入，情境设置引人入胜.

三、教学活动设计

活动1：赏析雕塑，在实践中构建“模型”

教师用PPT投影展示维纳斯雕像的图片（如图1），学生欣赏后教师提问.教学活动如下.

图1

师：维纳斯雕像美不美？你是用怎样的标准判断的？

生1：美，身材协调、匀称.

师：从数学的角度看，你觉得如何刻画“匀称”？能把“匀称”量化吗？

……

师：从美学的角度来看，当一个人的上半身（肚脐以上部分）和下半身（肚脐以下部分）的比例协调，就会被认为是美的.用数学的眼光看这个人是否美，就是用数学的方法定义“比例协调”的数量关系.因此，我们首先把人抽象为一条线段，将肚脐抽象为一个点，协调的比例关系可以转化为两条线段的比.

如图2，把维纳斯雕像抽象成线段AC≈1.76 m，把她的肚脐抽象成点B，上半身BC≈0.672m，下半身AB≈1.088m，学生计算线段之间的比.

图2

师：这些比值有规律吗？

师：你能用语言表述这个规律吗？

生2：较短线段与较长线段之比等于较长线段与整段线段之比，或者“较长线段与较短线段之比等于整段线段与较长线段之比”.

追问：如图2，设AC=1，点B是线段AC的黄金分割点，求黄金比.

【设计意图】通过欣赏维纳斯雕像，引导学生用数学的眼光观察“人之美”，以及用数学语言刻画美的方法.通过运算，学生发现这种线段的分割蕴含着规律，体会如何发现这种规律，并获得本节课的研究对象“黄金分割”“黄金比”及研究的基本方法，为进一步研究提供了知识和文化基础.

活动2：创建结构，在过程中提升能力

环节1：构建黄金比与连分数的联系.

师：如果写成假分数，你有什么发现？

生5：我算了几个分数的近似值，依次是1，2，1.5，1.67，1.6，1.625.

师：很好，大家可以再算几个，看看是否蕴含规律.

生6：1.615，1.619，1.618，….

生7：这些数在逐渐接近1.62，即黄金比的倒数.

【设计意图】通过问题1和φ的迭代运算，获得了关于φ的连分数表示.通过计算连分数的前若干项的数值，发现数据中蕴含的变化规律，进一步理解黄金分割的意义，帮助学生建立起黄金比、连分数，以及斐波那契数列之间的联系，同时也提升了学生的运算能力和推理能力，体会用有限估计无限和用有限刻画无限的思想.

环节2：作正方形，得到黄金矩形，体会无限分割思想.

由图2可知，点B是线段AC的黄金分割点，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFE和正方形BCHG，得到矩形ACME（如图3）.

图3

问题2：若将宽与长的比等于黄金比的矩形称之为黄金矩形，通过计算，找出图3中的黄金矩形.

追问1：你能在矩形HMFG中，再得到一个黄金矩形吗？

【设计意图】环节2中，将一维的线段，通过作正方形，得到黄金矩形，实现一维向二维的跨越.通过之前的铺垫，学生能快速判定四边形HMFG也为黄金矩形，重复同样的操作，能得到无穷多个黄金矩形，从而感受无限分割的思想，为学习黄金螺线做铺垫.

环节3：关联中考试题，体会黄金比的图形结构.

追问2：如图3，计算矩形EFGN和正方形BCHG的面积，你能发现什么？（面积相等.）

中考链接：（2019年浙江·杭州卷第21题）如图4，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上.设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2.

图4

（1）求线段CE的长.

（2）若H为边BC中点，连接HD.求证：HD=HG.

【设计意图】挖掘中考试题蕴含的文化元素，揭示试题的命题背景，激发学生的求知欲望，培养学生的解题能力.同时，把问题从一维图形推广到二维图形，拓宽了学生的视野.这也让学生掌握了如何用作图方法得到黄金矩形，探寻产生黄金比的图形结构，引导学生进一步体会黄金分割在几何图形中的广泛存在.

活动3：迁移创新，在实践中发展素养

作为课后拓展，教师事先布置如下任务：（1）收集与黄金分割有关的艺术作品资料；（2）从艺术作品中提炼数学问题；（3）创作设计与黄金比元素有关的图片或logo.要求完成任务后在课堂中展示、分享.

分享1：展示黄金螺旋线，培养欣赏美的能力.

学生根据斐波那契数列得到斐波那契螺旋线（如图5）；将黄金矩形进行无限分割，得到黄金螺旋线（如图6）.

图5

图6

同时，展示欣赏如图7所示的斐波那契螺旋线图片.

图7

问题3：比较图5、图6与图7中的这些图片，你有什么发现？

师生活动：学生从几何图形以及自然界、建筑物、美术作品中发现斐波那契螺旋线、黄金螺旋线是同一种螺旋线，体会黄金比与自然的和谐共存，以及自然所蕴含的规律、和谐之美可以用数学语言刻画.

【设计意图】一方面，通过斐波那契螺旋线、黄金螺旋线建立连分数、斐波那契数列与黄金矩形之间的广泛联系；另一方面，让学生感知黄金分割普遍存在于美术作品、建筑物之中，感知数学与自然的和谐美，数学是自然的语言，自然是数学的摇篮，培养学生欣赏美的能力.

分享2：展示人马图，体会研究图形的方法.

如图8（a），将人马图抽象成正五边形（如图8（b）），发现其中无处不在的黄金比例.如果说黄金比是自然美的代言，人马图便是自然和艺术的完美结合.因此，黄金比被欧几里得称为“最大程度平凡的比例”.

图8

问题4：那么我们可以按照怎样的方式来研究正五边形呢？

一般地，我们知道研究一个几何对象从研究对象的要素、要素和要素、要素和相关要素之间的关系入手，即研究组成正五边形的要素——角、边以及线段之间的关系.

学生研究成果展示如下.

（1）正五边形的性质可以归结为研究如图9和如图10所示的两个三角形的性质.其中点F为线段BJ的黄金分割点，点J为线段BE的黄金分割点.因此，在图8（b）中，点F和点J是对角线BE的一对黄金分割点.因此，可以把点F和点J叫做线段BE的一对“共轭黄金分割点”.有学生建议命名正五边形MFJKL为正五边形ABCDE的“伴随黄金正五边形”，而且可以不断构造下去.

图9

图10

（2）研究发现，图10中的△ABJ是一个顶角为36°的等腰三角形，可以求出36°角的余弦值和18°角的正弦值.

图11

【设计意图】研究人马图、五角星，预设目的在于引导学生发现五角星中存在黄金比，使学生学会迁移，加深对研究几何图形的一般方法的体验与认识.教学实践发现，学生的创造力远远超过预设，其中的成果（1）事实上是一种研究方法，从要素分析的“格物”走向基于结构的整体分析；成果（3）也震撼到了学生，这样的一个三角恒等式，其几何背景居然如此简单；成果（4）距古希腊学者发现和证明无理数仅一步之遥.通过这样的学习，学生沉浸在学习过程中，创造力得到了充分的提升，已经学会自己创新如何研究一个几何对象，充分挖掘图形规律，提升了推理能力和几何直观能力.

分享3：作品展示，彰显学习的乐趣.

展示部分学生的作品，如图12和图13所示.

图12

图13

【设计意图】让学生设计作品并非考查学生的“艺术天赋”，而是让学生在自主绘画的过程中，体验黄金分割生成图形的美感.

四、小结与思考

1.把握本质，实现“三个统一”

如何让学生在学习过程中有所得是教学设计过程中首先要考虑的问题.抓住黄金分割在一维线段、二维矩形中的表征，通过欣赏断臂的维纳斯、鹦鹉螺、帕特农神庙、画作《蒙娜丽莎》，将数学与自然、生活紧密结合，实现了数学与现实世界的统一.通过研究黄金比与连分数、斐波那契数列以及斐波那契螺旋线，实现了数与形的统一.由连分数得到数列，学生通过运算，发现该数列收敛于黄金比，体会用有限估计无限的方法.通过无限分割黄金矩形得到美丽的黄金螺旋线，实现了有限与无限的统一.

2.加强联系，突出“两条主线”

基于研究内容的特点，本节课的学习素材是跨单元甚至是跨学科分布的.因此，建立它们之间的联系，形成一个具有挑战性的学习主题是教学设计的抓手.利用黄金比串联起从连分数、斐波那契数列、黄金三角形、黄金矩形到正五边形的知识主线.通过欣赏雕塑、图片和艺术作品，开启了黄金之旅；通过自主探究黄金矩形的性质，实现了对黄金分割理解的跨越；通过分享正五边形性质的研究，体验了研究创新的快乐；最后通过绘画作品的展示，串联起师生活动主线.

3.设计活动，发展创新能力

让学生有“活动”的机会，有“亲身经历”的机会，都是实现学习迁移、发展学生的创新能力的有效做法.教学设计中由人马图到探索正五边形的性质，给学生创造了研究一个几何图形的机会.学生创新了研究方法，获得了比预设更多、更有质量的结果.

人文、建筑、艺术中蕴含的“黄金”之美，若仅靠视觉“欣赏”，感受到的美可能是美的表象，通过数学的方式揭示美的背后的数学规律，用数学之美讲述自然之美，把自然之美和人类理性之美融合才是真的美.