基于整体观念视域下的单元复习教学探索
——以苏教版数学四年级下册“三位数乘两位数”单元复习教学为例

江苏省南京师范大学附属中学新城小学怡康街分校 牛德芳

一、问题缘起：由一节课堂实践引发的思考

一位教师执教了四年级下学期“三位数乘两位数”的单元复习课，以下是这位教师的教学整体流程：

环节一：以复习单的形式，同伴交流，阐述“三位数乘两位数”的单元学习内容。（教学目标：学生在相互补充中复述了本单元的知识点，包括“三位数乘两位数”的笔算，积的变化规律，常见的数量关系。）

环节二：完成三道竖式题（其中一题为两个乘数均末尾有0），核对答案，引导学生将三道题划分成两类。[教学目标：复习三位数乘两位数的笔算方法，将竖式计算分类（乘数末尾有0和无0）]。

环节三：

题组训练：

（1）250×8=2000，则25×8=？125×24=？

（2）☆×□=60，则☆×2×□=？☆×2×□×3=？（☆×3）÷（□÷10）=？

（3）根据长方形的宽与长的成倍变化，求长方形的面积。教学目标：积的变化规律的综合应用。

环节四：复习数量关系，并通过学生自编的题目引导学生应用数量关系解决实际问题。

（“单价、数量、总价”的关系题目共3题，“速度、路程、时间”的关系题目共2题；教学目标：用常见的数量关系解决实际问题。）

“三位数乘两位数”这个单元的内容主要有笔算三位数乘两位数（乘数末尾有0和无0）、积的变化规律、常见的数量关系等。如果从教师的教学内容和达成的教学目标及本单元教材呈现的主要内容来看，此教师已经完成教学目标。但是，“三位数乘两位数”是整数乘法的最后一个单元，在数与代数领域中有着重要作用，教师在单元复习课时若只是停留在回顾、巩固和应用这三个环节上，那么价值和意义不大，而且只能让学生的思维停留在低阶层次。笔者认为应在整数乘法知识中寻找联结点，构建知识脉络，基于整体视角，注重体系的建构，重视拓展与应用，助力结构的完善和迁移。

二、叩问思考：对教材文本的解读和对学情的把握

（一）弄清教材编排的特点，抓准知识逻辑序列

通过梳理不同版本教材（苏教版、人教版、北师大版和沪教版），笔者发现各版本教材对于整数乘法的编排均有不少相同之处。纵向来看，各版本教材中乘法运算的知识布局（无论口算、笔算、估算的计算方式还是实际问题的解决等）具有基于原有经验类比推理学习新知的意图，而且是循序渐进、自然延伸的；横向对比，“三位数乘两位数”在各版本教材中均是整数乘法的最后一个阶段。以苏教版为例，小学阶段整数乘法学习内容的具体分布：二年级上学期，内容为表内乘法；三年级上学期，内容为两、三位数乘一位数；三年级下学期，内容为两位数乘两位数；四年级下学期，内容为三位数乘两位数。

整数乘法的知识分散于二至四年级，并且紧密相连。到了五六年级，整数乘法的知识是学习其他数学知识的重要基础，学生不仅要掌握整数乘法的知识内容，还要学会灵活运用这些知识解决问题。所以，对于“三位数乘两位数”的复习课教学，教师不能只着眼于知识巩固，而应贯穿知识的整体性，帮助学生构建系统的知识体系。

（二）了解学生现行认知起点，准确定位教学重点

为了充分了解学生的现有认知基础，精准把握学生的学习需要，笔者对学校四年级4个班的所有学生进行了一个前测调研（有关“三位数乘两位数”这个单元），发现学生的学情有如下特点：

1.知识梳理呈现单一，不成系统

学生对此单元的知识整理主要分为三类：第一类是对知识的再次摘抄型，即将所学知识进行搬运，重新摘抄；第二类是逻辑紊乱型，即将所学知识誊抄下来，没有逻辑性；第三类是明晰个性型，即知识整理有独特的方式，反映出个性化和创造性，但是缺乏关联和融通。学生对此单元的知识认识是零散的、浅显化的，尚未形成知识链。因此，“三位数乘两位数”的复习课应该帮助学生深刻理解其本质内涵，梳理知识体系，动态理解知识的本质属性。

2.知识应用能力较弱，不够灵活

学生对此单元的基础题目掌握较好，而且能够关注易错点；但是对于融合性和拓展性较强的题目，学生的灵活运用能力和分析问题的能力较低，综合能力相对较弱。因此，复习课应该帮助学生打开思路，创设更多应用知识的学习机会，提高学生综合运用知识的能力。

三、统整筹划：重设“三位数乘两位数”复习课的目标视角

面对教材文本和编排，是否应该关注相关知识的前沿后伸和类比迁移？面对学生的学情，教师教学时是否要在单元复习课上重拾这个单元每课时已经多次巩固的知识点？这节复习课的教学目标视角应该落在何处呢？基于上述对教材的剖析和对学生学情的定位，笔者认为“三位数乘两位数”复习课的目标视角应该重设，并思考如下：

（一）目标视角一：两种模型的建构

1.整数乘法笔算模型的建构

从两、三位数乘一位数，到两位数乘两位数，再到三位数乘两位数的笔算学习，是类比推理的过程，是自然延伸的合理过程。在此基础上，学生应该能够抽象出三位数乘三位数、四位数乘四位数笔算的模型结构并能总结出算法，那么，多位数乘多位数的笔算方法也就明晰了。由此来看，整数乘法笔算模型的建构可以培养学生从整体上把握笔算乘法的内涵，提高学生的数学素养。

2.数量关系相关的通用模型建构

“单价、数量、总价”和“速度、路程、时间”两个数量关系知识点是小学阶段唯一被作为一个课时单独教学的。两个数量关系之间虽说没有必然的联系，但有共通之处：其一是两个数量关系均隐含着函数关系，一个量不变，第二个量的变化会引起第三个量的变化；其二是这两类数量关系是乘法意义下的常见数量关系，若拓展延伸，可以进一步丰富此类型的数量关系，构建成为“每份数×份数=总数”这样的乘法意义下的数量关系的结构模型。

（二）目标视角二：多元表征对整数乘法笔算的关联理解

在整数乘法笔算的学习过程中，虽然乘数的数位不一样（两、三位数乘一位数，两位数乘两位数或三位数乘两位数等），但是，学生均可以结合直观表征（如小棒图、方格图和长方形图，以及点状图、面积图和抽象图等），借助乘法分配律来理解竖式意义，最后形成数学化的形式表示，达成从直观运算向算法运算的过渡。复习课时，教师可以抓住多元表征在不同类型整数乘法笔算的使用，关联共同点，提升学生的思维能力。

（三）目标视角三：计算形式的融合及灵活使用

正确运算、理解算理、方法合理是运算能力的核心要素。运算方式的学习是为了解决生活场景中遇到的不同问题，学生在碰到不同的情境时应该会选择口算、估算、笔算等合理的计算方式进行计算。所以，本节复习课的站位不应该只处于笔算，而应该拓展至不同的计算形式，这样才能让学生在提升计算能力的同时，还能有直面思考和择优的机会。

（四）目标视角四：“积的变化规律”融合于计算和应用

作为“三位数乘两位数”这个单元中的一课时，“积的变化规律”在复习课中的目标应是关联于本单元的其他知识点。笔者认为可以关注两点：一是要紧扣竖式计算来总结积的变化规律；二是要将其渗透在数量关系的应用中。

四、重组实践：“三位数乘两位数”单元复习教学路径

基于以上教学目标的重设，笔者从结构化的视角出发，对此单元复习教学进行复盘和重组，开展“三位数乘两位数”的课堂实践，形成了此类复习课教学的可行性路径。

（一）纵向梳理：凸显模型思想的生成，促进知识结构的重建

1.整数乘法笔算模型的建构

“竖式”算法是解决计算问题的方法，反映的是人们求简的思路，以及对其具有的“规定”特征的理解。学生回顾两、三位数乘一位数，两位数乘两位数和三位数乘两位数的知识，打通其关联性，抽象出三位数乘三位数和四位数乘三位数的模型图，并梳理出算法。（如图1）学生在类比中经历了学习的过程，对于整数乘法的算法和算理会更加明朗，也能从整体上理解笔算的本质。

图1

2.乘法意义下的通用模型建构

“三位数乘两位数”这个单元中的两个重要数量关系为“单价、数量和总价”“速度、时间和路程”，这两个数量关系其实能够构建出相同的结构体系。课上，教师可以让学生在解决问题的过程中感受两种数量之间的关系，并有层次地建构出乘法意义下的与数量关系相关的通用模型结构，将“速度”“单价”整合为“每份数”，将“数量”和“时间”整合为“份数”，将“总价”和“路程”整合为“总量”，那么，两种数量关系其实就可以转化为“每份数、份数和总量”之间的关系，学生在复习的过程中就有一个更深入的理解。

（二）聚焦重点：重视多元表征的关联运用，加深对知识本质的理解

笔算属于程序性知识，学生对笔算的学习是形成经验的过程。为了让学生理解笔算过程中每一步的意义，教师通常会采用直观表征的形式强化学生对意义的理解。在小学阶段每一次整数乘法笔算学习的过程中，教师均将多元表征融入其中，但是究其本质，每次学习中使用的多元表征都有相关联的地方。如图2所示（其实每种类型的笔算还可以用点子图、小棒图等来进行表征，本表格仅以长方形图的面积来表征）：

图2

运算能力是构成小学数学素养的重要成分之一，也是学生理解和应用数学过程中不可或缺的关键能力之一。培养学生运算能力的重点在于理解算理，核心在于根据不同的问题情境灵活地选择不同的计算方式。“三位数乘两位数”这个单元的重点内容虽然为笔算，但是，如果把这节复习课提升为整数乘法复习的阶层，教学内容就不能局限于笔算了，而是应该将其与口算和估算相结合，为学生创设运算的不同视域，让学生在思辨中选择合适的运算方式。举个简单的例子，如图3所示：

图3

（三）变式选择：关注计算形式的融合，提升学生运算能力

此题不需要竖式计算算出答案，可以通过估算（判断积的末尾和根据积的范围进行判断），得出正确答案是中间的竖式。

（四）综合应用：完善积的变化规律认识，实现从联结到拓展的思维结构化

积的变化规律需要合理而有效地使用，才能发挥其作用。笔者认为可以将其归结为两大部分来使用：一种是计算；一种是在解决问题中找寻变量和不变量的函数关系。复习课时，教师可以帮助学生提炼出不同的笔算模型，让学生加深积的变化规律在此种情况下使用的印象。

另外，在本单元乘法意义模型下两种数量关系的使用中，若把这种类型的数量关系变换成函数关系，那么，当第一个量不变、第二个量成倍变化时，第三个量也随之成倍变化，其实，这种变化就可以用积的变化规律来解释。由此来看，积的变化规律除了在常见的运算中使用外，在乘法意义下的数量关系中也经常被灵活使用。

总的来说，基于整体的“三位数乘两位数”单元复习课，应该由点到面、由面到体，给予学生知识学习的立体高位，整体把握整数乘法（包括笔算、口算和估算）的灵活使用；强化整数乘法笔算的知识属性以及关联，形成乘法竖式的模型；找寻数量关系中的融通之处，建构出乘法意义下的数量关系模型；探索积的变化规律的使用范围，重视在“算”中的使用，也在数量关系中寻找变与不变之处，提升学生的函数思想意识。