新课改二十年来范希尔理论在几何教育领域的应用研究述评

邢孟雨 何声清

【摘要】梳理新课改二十年来范希尔理论在几何教育领域的应用研究，发现当前研究的四个核心议题：基于思维水平理论考察学生对特定几何概念的理解；基于思维水平理论考察教师对特定几何概念的理解；基于思维水平理论评估教材中几何概念的认知水平；基于教学阶段理论设计特定几何概念的教学过程.上述研究构建了系列针对特定几何概念的思维水平模型和教学阶段模型，丰富了范希尔理论的实践成果，但是相对松散、不成体系，存在测评工具设计不精准、思维水平评估不客观、教学阶段设计不清晰、实践效果评估不规范等问题.

【关键词】范希尔理论；几何思维水平；几何教学；应用研究

1问题提出

“以学定教”是课程目标设定、教材内容选取、教学过程设计的基本准则.《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出数学教学要符合学生的认知规律和心理特征[1]，《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出“数学教学要通过制定科学合理的学业评价标准，促进学生在不同学习阶段素养水平的达成”[2].以几何领域为例，学生的几何概念是按照一定的次序和方向得以发展的，主要可以划分为拓扑几何阶段、投影几何阶段及欧式几何阶段[3].上述有关学生几何认知发展的阶段规律在宏观上对于学段目标设定、教材内容选取均具有指导价值.

在微观层面上，教师在常规教学中践行“以学定教”时则面临诸多困难，对于学情的分析常常基于经验判断、缺乏科学标准[4].如何在微观层面上，基于科学的标准描述、解释学生学习特定几何概念时的特征？荷兰数学教育家范希尔（Van Hiele）夫妇提出了一个刻画学生几何概念理解的五水平理论（以下简称“思维水平理论”），认为几何概念的学习先后要经历视觉（visuality）、分析（analysis）、非形式化的演绎（informal deduction）、形式的演绎（formal deduction）及严密性（rigior）五个水平[3].视觉水平是指学生从整体轮廓上辨认和描述几何图形及其元素，并根据对其形状的操作解决简单的几何问题.例如学生可能会将某个图形视作三角形，因为它看起来像一个三明治.分析水平是指学生能分析图形的要素、特征，由此建立图形的特性，解决形体的比较、图形的分类等几何问题.例如学生知道三角形有六个基本元素，但不能理解内角越大，其对边越长的性质.非形式化的演绎水平是指学生能建立图形及图形性质之间的非形式化推论，探求图形的内在属性和包含关系，同时又能用公式、定义及性质做一些演绎推论.例如在了解等腰三角形的性质后，学生会推出等腰直角三角形是特殊的直角三角形.形式的演繹水平是指学生开始重视证明及其充分和必要条件，对比证明的不同方式，会用形式逻辑验证几何定义、（逆）定理、猜想等.例如“至少有一条边对应相等”或“至少一个角对应相等”是证明两个三角形全等的必要条件，“两角及夹边对应相等”则是其充分条件.严密性水平是指在不同的公理系统下，学生严谨地推演定理，以分析比较不同的几何系统.例如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较.

根据思维水平理论，范希尔夫妇还相应地提出了几何教学的五阶段理论（以下简称“教学阶段理论”），两者共同构成了完备的范希尔理论[3].教学阶段理论认为，几何教学包括如下几个关键阶段：①学前咨询，是指学生在与教师的交流下，理解学习任务和后续的学习活动；②引导定向，是指学生在教师安排的活动顺序中，逐渐认识到学习前进的方向；③阐明，是指学生在教师的适当点拨下，获取知识经验和部分的学习关联系统；④自由定向，是指学生在自主完成作业和探索问题答案的过程中，明确学习领域的方向和学习内容间的联系；⑤整合，是指在习得的学习方法、内容及关系的内化统一中，学生的思维水平达到新的层次.

范希尔理论对于几何领域的“以学定教”提供了一个可操作的参考框架.自引进国内后，学界基于该框架开展了哪些应用研究？是如何研究的？取得哪些有益经验？本研究通过梳理新课改二十年来的相关研究来回答这些问题.

2范希尔理论在几何领域应用研究的议题和方法

当前应用研究的主要议题可归结为四个方面.第一，基于思维水平理论考察学生对特定几何概念的理解水平；第二，基于教学阶段理论设计特定几何概念的教学过程.除此之外，还有研究基于思维水平理论，以“教师”和“教材”为研究对象，由此衍生了另外两个议题，分别是：第三，基于思维水平理论研究教师对特定几何概念的理解；第四，基于思维水平理论评估教材中几何概念的认知水平.

2.1学生的几何思维水平研究

从研究对象来看，当前有关学生几何思维水平的研究大都集中在中学生群体.从研究范式来看，当前研究大都先对思维水平理论进行具体化，即构建特定几何概念的思维水平评价标准；其次，根据上述评价标准编制测量工具；最后通过施测数据等对学生的理解水平进行统计分析.

大部分研究都证实了应用思维水平理论测量学生几何思维水平的可行性.它既能够为诊断学生的几何思维水平提供参考依据，又能够指导教师设计各个思维水平对应的数学任务和学习目标[5].特别地，对于开放性问题，应用思维水平理论指导编制评价标准，能够更科学地刻画学生的学习表现.例如，以基于思维水平理论设计的评价标准为指导，有研究对北京市初三学生的几何思维水平进行测评，详细统计了各水平学生的占比[6]；有研究发现，经过平移、旋转及翻折概念的学习，学生的几何思维大都处于非形式化的演绎水平，但没有达到形式的演绎水平[7].上述这样的评价方式能够为学情分析提供更多有价值的信息.

除了对几何思维水平的整体考察外，另有研究对学生关于特定几何概念的思维发展水平进行实证研究.例如，杨文萍分析了高二文科生立体几何垂直证明的四个思维水平，指出学生的理解受到平面几何知识的负迁移作用[8].邢玉琢对七、八年级学生几何思维水平及其影响因素的研究显示，学生的学业成绩、几何学习兴趣及教师的教学方式与其几何思维发展密切相关[9].黄兴丰等人的研究发现，对于初中阶段，学生在七年级时其几何思维尚未达到高阶水平，在八、九年级时则有飞跃式发展[10]；对于高中阶段，学生的空间几何思维在视觉水平和分析水平上发展充分，在非形式化的演绎水平和形式的演绎水平上则发展缓慢[11].

2.2教师的几何思维水平研究

教师的专业知识是影响教学效果的重要因素，有研究以思维水平理论为框架考查了教师的几何思维水平.例如，官红严和周超基于思维水平理论编制测评工具和评价标准，通过实证研究发现，大多数老师的几何思维水平能够达到分析水平和非形式化的演绎水平，仅有1/4的教师能够达到形式的演绎水平[12].这与国外研究基本一致，即具有高层次几何思维水平的教师基数较小[13].值得注意的是，当前以教师为研究对象考查其几何思维水平的研究仅寥寥数篇，建议未来加强研究.

2.3教材中几何内容的认知水平研究

我国当前的中小学数学教材类型多样，呈现“一纲多本”的格局.，不同版本教材对于几何内容的设置存在一定差异为了比较不同教材中几何内容认知水平的差异，研究者通常借助思维水平理论作为分析框架.例如，崔冉分析了沪教版和人教版初中教材“几何证明”内容的认知水平，指出两版教材均覆盖了前四个水平，但沪教版教材的编排更能凸显思维水平间的衔接[14].唐恒钧和张维忠通过对比美国《发现几何》和我国华师大版数学教材中的“相似”内容，指出两国教材都注重将直观几何作为学生的学习起点，但是美国教材的难度更大，这也意味着对学生思维水平的要求更高[15].

2.4几何教学阶段研究

作为思维水平理论的延续，教学阶段理论着重为几何教学提供可操作的框架，基于教学阶段理论开展科学化的教学实践也就成为一项重要议题.

在教学实践中，已有研究大都根据特定概念将其具体化，即提出“特定概念的教学阶段”（为简略表述，下文统一称作“基于教学阶段理论的教学”）.几乎所有基于教学阶段理论的教学都证实了其对于学生几何学习的积极影响.例如，韦琳设计了“相似三角形的判定”的五阶段教学，通过实验研究表明它对学生学业成绩和思维水平均有积极作用[16].韦爽设计了“椭圆和球体”的阶段化教学方案，通过实验研究发现实验班学生的数学成绩、解题思路都要优于对照班[17].除了对学生的数学成绩和几何思维水平有积极作用以外，还有研究证实，基于教学阶段理论的教学能够积极预测学生几何学习的非智力因素.例如，万涵琪的研究发现，在开展基于教学阶段理论的“全等三角形”教学后，两个实验班学生的学习兴趣均有提升，整体学习氛围更为浓厚；师生认为基于教学阶段理论的教学能更适应学生的数学学习，“更能兼顾到几何学习方面存在困难的学生”[18].

3分析与讨论

当前应用范希尔理论开展的研究议题主要有学生或教师几何思维水平的测评、教材中几何内容思维水平的评估以及几何内容的阶段教学.其中，前三个研究议题主要以思维水平理论为依据，最后一个议题通常同时以思维水平理论和教学阶段理论为依据.

3.1已有研究针对特定的几何概念，在师生思维水平、教材认知水平和教学阶段方面进行了深入的探索，形成了系列具体的思维水平模型、教学阶段模型，这丰富了范希尔理论的实践成果

已有研究通常依据思维水平理论，制定特定几何概念的思维水平评价标准、教材认知水平评价标准，以形成具体化、可操作的评价工具.但值得注意的是，当前研究对于根据该理论划分几何思维（认知）水平的可靠性看法不一.例如，有研究认为，学生的范希尔几何思维水平在同一层次内具备多样性[19].因此，依据思维水平理论评价学生作答时，有可能出现“某种作答难以归结到这五个水平”的情况，即学生的作答实际超出了该理论的预设.还需要指出的是，当前研究多以平面几何里的概念为载体，而较少有以立体几何为载体的研究.

3.2已有研究在设计教学阶段时通常采取两种范式，但缺少对其实践效果的评估

第一种范式是基于思维水平理论考察学生的学习特征，据此设计阶段化的教学过程.第二种范式是：基于思维水平理论设计测评工具、开展实证研究，结合教学阶段理论、实证研究结果设计阶段化的教学过程.换言之，第一种范式的主要依据是思维水平理论，第二种范式则是同时以思维水平理论和教学阶段理论为指导.值得注意的是，无论采取哪种范式开展阶段化教学，当前研究通常仅依据教学前后的数据对比来分析其实践效果，鲜有研究通过开展教学实验对基于教学阶段理论的教学与常规教学的实践效果进行对比.从零星的实验研究来看，研究者主要通过比较不同教学方式下学生成绩的增量、思维水平的变化及几何兴趣的差值等[18].需要注意的是，学生“思维水平的表现倾向具有偶然性与不稳定性”[19]，因此有必要开展进一步的访谈，通过定量、定性研究的互证来谨慎地评估基于教学阶段理论的教学在实践中的效果.

3.3當前有关范希尔理论的应用研究相对松散、不成体系

范希尔理论给评估学生的几何思维水平提供了框架、打开了窗口，但只有针对特定概念形成系列具体化的思维水平模型、教学阶段模型，其对于教学实践的指导价值才得以最大化地发挥.但是，检索文献发现，国内有关范希尔理论的实证研究虽逐年递增，但这些研究大都是硕士学位论文，尚缺乏专门的研究团队开展系统的研究.具体而言：第一，在评估学生几何思维水平时，有些研究在编制测评工具时缺少对题目水平的论证，有些研究在评估学生作答时缺少对评价标准的论证，由此导致研究不够精准.第二，在评估教材内容的认知水平时，已有研究大都聚焦平面几何的内容，缺少对立体几何内容的关注.第三，在衡量教师几何思维水平方面的研究较少，尚不具备代表性.教师自身对范希尔理论知之甚少，难以准确运用其设计和展开教学，因此开展针对教师的研究十分必要.第四，当前研究在设计阶段化教学时大都机械地参照其实证研究结论.因此，需要在依据实证研究结论的基础上，整合教育技术等其他必要因素进行系统的设计.尽管研究表明，基于教学阶段理论的教学能够积极预测学生的非智力因素[18]，但仅仅借助基于教学阶段理论设计的教学往往难以取得显著的效果，需要整合教育技术等必要的支撑因素.

参考文献

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作者简介  邢孟雨（1997—），女，硕士研究生;主要从事数学教育研究.

何声清（1988—），男，讲师，博士，硕士生导师;主要从事数学教育研究.