一道尺规作图题的命制

程银生 杨巧玲

摘 要：受证明勾股定理的毕达哥拉斯拼图中元素关系的启发，打破常规，简化图形，呈现其基本要素（一个点和两条线），命制出一道构造等腰直角三角形的尺规作图题，并改变点的位置，重构线的形状，进行拓展，从而多角度考查学生对基本图形的理解以及尺规作图能力。探索多种解法，分别做到有迹可循、有理有据，并在鼓励学生思维创新、百花齐放的同时，让学生体会到多法归一的尺规作图方法探索本质，从而形成良好的思维品质，培养提出问题和解决问题的能力。

关键词：初中数学；试题命制；毕达哥拉斯拼图；尺规作图

一、 从经典图形中找素材

作为初中数学的重要内容，勾股定理是基本的几何定理，揭示了直角三角形三边间的关系。其证明和应用一直受到广泛关注，是数形结合的重要纽带。通过拼图，借助等面积法是证明勾股定理的常用方式，其中一些经典图形（如赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图、美国总统加菲尔德构图等）被各版初中数学教材选用。这些经典图形也受到众多命题者的青睐，由此命制出的习题、试题层出不穷。

毕达哥拉斯拼图（如下页图1所示）是赵爽弦图的“外翻”，是加菲尔德构图的“加倍”。观察图1，发现里面有着丰富的元素。大正方形ABCD由小正方形EFGH和四个全等的直角三角形拼接而成。如果将小正方形EFGH的对角线EG（或HF）连接起来，则大正方形ABCD被分割成两个直角梯形（包含基本图形“K形图”［1］），小正方形EFGH被分割成两个等腰直角三角形（其三个顶点分别在大正方形的三邊上）。如果直角三角形的两条直角边长确定，则其斜边长也确定，而内外两个正方形的边长（大小）也随之确定。

受此启发，若只保留小正方形EFGH的某一个顶点（如点E）和大正方形ABCD一组对边，即两条平行线（如AD、BC），能否在此基础上重新构造一个等腰直角三角形，使其一个顶点为保留的点（E），另外两个顶点分别在两条平行线上？进一步推广，若这组对边不平行，又该如何构造？由此，结合《义务教育教学课程标准（2022年版）》突出强调的重点和当下中考的热点，命制出下面的尺规作图题，作为一次中考特长生测试的压轴题。

四、 几点启示

（一） 打破常规，尝试一图多变

数学一向以简洁美著称，简洁的外在蕴含丰富的内涵：基础的内容有着丰富的变化。平面几何中丰富的图形世界让人目不暇接、流连忘返。历经岁月长河的积淀，一些经典图形仿佛一块块璞玉被人们发掘、传承，焕发出新的生机。即使是同一幅图，从不同的角度看，也能发现不一样的精彩世界，它们彼此联系，又别具一格。比如，勾股定理的几种经典拼图证明方法联系紧密。上述试题的命制受其启发，打破常规，尝试换一种角度，通过简化图形，呈现其基本要素（一个点、两条线），要求构造等腰直角三角形；进而改变点的位置，重构线的形状，进行拓展。一图多变，多角度考查学生对基本图形的理解以及尺规作图能力，给学生的思维发展提供充足的空间。正所谓：“璞玉熠熠生辉，青春灼灼其华。”

（二） 方向引领，体会多法归一

解决尺规作图问题只有“明理”，才能“知法”：基本技能的形成一定是建立在严密的几何逻辑推理和有条理的思考上的［3］。通过作图形成良好的思维品质，培养提出问题和解决问题的能力。纵观文中提到的各种作法，虽然思维方式各异，但是，通过作图思路分析，均可做到有迹可循、有理有据。真可谓“一笔一画皆世界”。日常教学中，教师应擅于创建交流共享的平台，走近学生，聆听他们的想法，启发群体的智慧，引导学生学习、比较、分析，再结合自己的专业素养，进行方法引领，让学生体会不同方法之间思维的差异和共性。比如，上述图6—图16、图17—图19虽呈现了不同的作图方法，各具特色，但又不乏共同之处。在鼓励学生思维创新、百花齐放的同时，让学生体会到多法归一的本质。如此，才能达到触类旁通、“做一题，晓一类”的境界。

参考文献：

［1］ 李贺，朱黎生.“K形图”的变异空间及教学要点——变异理论视域下［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2023（3）：62.

［2］ 钱德春，于婷婷.尺规作图教学重在“探索方法”［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（1）：5859.

［3］ 万建光，陈文雅．明画法之理 显思维深度——一道无刻度直尺作图题的解法及教学启示［J］.中学数学，2021（12）：9597．