简洁 基础 本质 创新
——赏析2023年高考数学北京卷

蒋海燕(特级教师) 甘志国(正高级教师 特级教师)

(1.北京市第十二中学 2.北京市丰台区第二中学)

1 2023年高考数学北京卷的特色

北京卷坚持“立德树人、服务选才、引导教学”的命题原则,坚持“有利于高校选拔人才、有利于高中数学教学、有利于考生展示才华”的命题方向.一是试题的设计紧扣课标和教材,回归课堂、回归学科本质,突出“简洁、基础、本质、创新”的北京卷特色,为中学生“减负”创建良好的教育生态,促进新高考与新课程、新课标和新教材的协调联动.二是试题的设计深入浅出,设问层层递进,形式灵活多元,比如,第20题(用导数研究函数的性质)通过三层设问环环相扣,又依次递进,对能力素养要求连续升级,通过“多问把关”“多题把关”,将难度设置在对学生思维层级的考查上,对引导教学起到积极作用.

北京卷共21 道试题,其中基础题13 道,共74分,题量约占62%,分值约占49%;中档题4道(分别是第14,18,19,20题),共48分,题量约占19%,分值约占32%;较难题4道(分别是第9,10,15,21题),共28分,题量约占19%,分值约占19%.基础题较多,且绝大部分是“不动笔墨、一望而解”的.笔者认为,这些都是正确的导向:高中数学教学应当回归基础、回归本原.早年的高考压轴题多是求不出来通项公式的递推数列问题,而现在通常不再把求不出来通项公式的递推数列问题作为压轴题了,这些正是回归基础、回归本原的体现,并且与“高考选拔”不矛盾.

2 对部分试题的分析

2.1 一题多解

例1(第3题)已知向量a,b满足a＋b＝(2,3),a－b＝(－2,1),则|a|2－|b|2＝( ).

A.－2 B.－1 C.0 D.1

解析方法1把所给两个向量等式分别相加、相减,可求得向量a＝(0,2),b＝(2,1),所以|a|2－|b|2＝(02＋22)－(22＋12)＝－1,故选B.

方法2|a|2－|b|2＝a2－b2＝(a＋b)·(ab)＝2×(－2)＋3×1＝－1,故选B.

例2(第7题)在△ABC中,若(a＋c)(sinAsinC)＝b(sinA－sinB),则C＝( ).

解析方法1(角化边)由题设及正弦定理,可得

(a＋c)(a－c)＝b(a－b),c2＝a2＋b2－ab.再由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC,则C＝,故选B.

方法2(边化角)由题设及正弦定理,可得

2.2 部分创新题的解法

例3(第9题)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图1所示,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB＝25m,BC＝10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为( ).

图1

A.102m B.112m

C.117m D.125m

解析如图1 所示,由面ABFE和面DCFE是全等的等腰梯形,可得AB∥EF∥DC,EA＝ED＝FC＝FB.

如图2 所示,过点F作FG⊥平面ABCD于G,设棱BC的中点是H,连接GH,FH.由题设及等腰三角形的“三线合一”,可得BC⊥FH,进而可得BC⊥GH.再由题设,可得

图2

再过点F作FI⊥AB于I,连接GI,可得AB⊥GI.再由题设,可得

又 ∠FIG＝ ∠FHG,所 以 Rt △FIG≌Rt△FHG,故GI＝GH,FI＝FH.连接GB,可得BG是∠ABC的角平分线,连接GC,同理可得CG是∠BCD的平分线.

由AB∥DC,得∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝90°,所以∠BGC＝90°.再由GH⊥BC,H是棱BC的中点,可得GI＝GH＝HB.

由FI＝FH,可得Rt△FIB≌Rt△FHB,所以GI＝GH＝HB＝BI,因而四边形BHGI是边长为5的正方形,∠ABC＝90°.

同理,可得四边形ABCD的四个角均是直角,所以四边形ABCD是矩形.

综上,五面体所有棱长之和为2AB＋EF＋2BC＋4FB＝2×25＋15＋2×10＋4×8＝117m,故选C.

点评该题及2005年全国Ⅰ卷理科第4题(即文科第5题),1999年高考全国卷文科、理科第10题、2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一试第9题、第一届(1983年)美国数学邀请赛试题第11题都是与刍甍体积有关的问题.

例4(第10 题)已知数列{an}满 足an＋1＝(an－6)3＋6(n∈N*),则( ).

A.当a1＝3 时,{an}为递减数列,且存在常数M≤0,使得an＞M恒成立

B.当a1＝5 时,{an}为递增数列,且存在常数M≤6,使得an＜M恒成立

C.当a1＝7 时,{an}为递减数列,且存在常数M＞6,使得an＞M恒成立

D.当a1＝9 时,{an}为递增数列,且存在常数M＞0,使得an＜M恒成立

综上,选B.

点评本题涉及大学数学中的知识“判断数列是否有界、求数列极限”,试题也体现了高中数学与大学数学的衔接.

例5(第13题)已知命题p:若α,β为第一象限角,且α＞β,则tanα＞tanβ.能说明命题p为假命题的一组α,β的值为α＝________,β＝________.

解析由题意可知α,β为第一象限角,α＞β,tanα≤tanβ,且

因而所求的所有答案是“α,β为第一象限角且(2k－1)π≤α－β≤2kπ(k∈N*)”可取

例6(第14题)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”.已知九枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7 项成等比数列,且a1＝1,a5＝12,a9＝192,则a7＝____;数列{an}所有项的和为____.

①f(x)在(a－1,＋∞)上单调递减;

②当a≥1时,f(x)存在最大值;

③设M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2＞a),则|MN|＞1;

④设P(x3,f(x3))(x3＜－a),Q(x4,f(x4))(x4≥－a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是(0，].

其中所有正确结论的序号是________.

当a≥1 时,若x＜－a,则f(x)＝x＋2＜2－a≤a;若－a≤x≤a,则当且仅当x＝0时,fmax(x)＝a;若x＞a,则f(x)＜0,所以f(x)存在最大值,故②正确.

如图3 所示,在同一平面直角坐标系xOy中作出三条曲线Γ1:y＝x＋2,Γ2:设曲线Γ3的端点是A(0,－1),则以点A为圆心、1 为半径的圆Γ4与两条曲线Γ1,Γ2均相离.

图3

当x1＜－a时,M,N两点分别在曲线Γ1,Γ3上,结合图3可得|MN|＞1;当－a≤x1≤a时,M,N两点分别在曲线Γ2,Γ3上,结合图3也可得|MN|＞1,所以③正确.

若|PQ|存在最小值,则由图4可知点Q不会在曲线γ3上,即在曲线γ2上.作OP′⊥γ1于P′(－1,1),可设线段OP′交曲线γ2于Q′,则由图4可知,当且仅当P,Q两点分别与P′,Q′两点重合时,有

图4

综上,正确结论的序号为②③.

例8(第20题)设函数f(x)＝x－x3eax＋b,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.

(1)求a,b的值;

(2)设g(x)＝f′(x),求g(x)的单调区间;

(3)求f(x)的极值点个数.

点评解答第(1)问时,求得函数f(x)＝xx3eax＋b的导函数f′(x)＝1－eax＋b(ax3＋3x2),这一步求导对运算能力要求较高.

解答第(2)问时,求得导函数g′(x)＝－xe1－x·(x2－6x＋6)的两个无理数零点为,解方程的过程也对运算能力要求较高.

解答第(3)问时,先由第(2)问的解答可作出函数g(x)(即f′(x))的大致图像,如图5所示,接下来需要求出f(x)的导函数f′(x)的变号零点个数,但仅由图5不能给出其严谨解答,而要用到零点存在定理来解答.一般来说,考生容易想到的是先判断f′(x)的极值符号.

图5

3 对高中数学教学及高考复习备考的建议

关于高中数学教学及高考复习备考,笔者强调以下六点.

1)第一轮复习要夯实基础,坚决丢掉“偏、难、怪”的教学(包括解题教学),不可“深一脚、浅一脚”,这样会导致“学生很怕数学”.

2)教师复习备考要让学生感到心里有底,这是高效复习和减轻学生学习负担的重要途径,也是必由之路.比如,对于试卷第19题,教师要尽可能地引导学生揭示其背景,提升学生的学习兴趣.

3)注重主干知识、聚焦核心考点、重视高频考点,适当加大运算能力的培养:要知道梨子的味道一定要亲口尝一尝;这道题难不难、会不会做,一定要亲自动笔认真做.

4)关注高考数学北京卷的特色试题,比如,对三道压轴题,平时要有针对性的训练,即使第21题也不可全然放弃,要做到分分必争;多关注新高考中的劣构题、数学文化题、多选题等,并尽可能地做到学以致用、欣赏数学,还要尽可能地做到见多识广,并关注三道压轴题的变化,不可“刻舟求剑”.

5)高中数学教学要永远做好四个关键词:夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高.考生要尽可能地学习数学课本之外的方法、知识,比如,数学归纳法、反证法、同一法、合情推理、极限概念、极端化原理、容斥原理、抽屉原理等.

6)高中基础年级(高一、高二)的数学教学务必重视基本概念的教学,并且要重视概念的情境引入及形成过程.教师先匆忙介绍概念再用盲目刷题的“简单粗暴概念教学”可以停止了,因为这样的教学,学生不可能掌握概念的来龙去脉,除了会“套题型”的机械解题之外根本不会“用理解概念来解创新题目”.

(完)