多题一图 变幻无穷

高 亢

(大庆第二十三中学)

在数学问题中,经常会出现“多题一图”的现象,即不同的题目,在运用数形结合思想解题时会构建同一个图形,虽然这些题目各不相同,解题思路不尽相同,但题目之间却存在着某种必然的联系,本文对此作些探讨,供大家参考.

引例已知x1是方程x＋lgx＝3的一个根,x2是方程x＋10x＝3的一个根,则x1＋x2＝________.

解析将已知的两个方程变形可得lgx＝3－x,10x＝3－x.令f(x)＝lgx,g(x)＝10x,h(x)＝3－x,画出它们的图像,如图1 所示.记函数f(x)＝lgx与h(x)＝3－x的交点为A(x1,y1),g(x)＝10x与h(x)＝3－x的交点为B(x2,y2).由于f(x)＝lgx与g(x)＝10x互为反函数,且直线y＝3－x与直线y＝x垂直,所以A(x1,y1)与B(x2,y2)两点关于直线y＝x对称.

图1

点评本题将方程问题转化为函数问题,注意到f(x)＝lgx与g(x)＝10x化为反函数,它们的图像关于直线y＝x对称,于是利用图像的对称性即可求出直线y＝－x＋3与两个函数图像的交点的横坐标之和.

引例解答中的这个图像极具代表性,笔者发现,在许多相类似的问题中都会出现.

变式1已知a＞1,方程ex＋x－a＝0与lnx＋x－a＝0的根分别为x1,x2,若则m的取值范围为_________.

解析方程ex＋x－a＝0 的根,即y＝ex与y＝a－x图像交点的横坐标,方程lnx＋xa＝0的根,即y＝lnx与y＝a－x图像交点的横坐标.易知y＝ex与y＝lnx的图像关于直线y＝x轴对称,如图2所示.y＝a－x与y＝x交点为所以x1＋x2＝a,所以

图2

点评解答本题的关键是将m表示为关于a的函数,再利用图像法,根据图像的对称性得到x1＋x2＝a,本变式是引例的延续.

变式2(多选题)已知函数f1(x)＝x2＋3x－5(x＞0),f2(x)＝e2x＋x－2,f3(x)＝lnx＋2x－4的零点分别为x1,x2,x3,则下列结论正确的是( ).

A.x1＜x2＜x3B.x2＋x3＝2

C.f3(x1)＜0 D.f3(x2)＝f2(x3)

图3

点评本题虽然有二次函数“加盟”,但考查的还是两个互为反函数的指数函数、对数函数同直线y＝2－x的交点问题,显然本题的难度在引例的基础上得到了加强.

图4

点评解答本题的关键是挖掘

的几何意义,将原问题转化为求y＝ex图像上的动点与y＝lnx图像上的动点的最小距离,研究的依然是互为反函数的两个函数(指数函数与对数函数)的图像间的关系,所以还是构造与引例相似的图像.

多题一图,变幻无穷.由此可见,当题目中含有两个互为反函数的指数函数与对数函数,且讨论与方程的根或图像交点的问题时,一般可采用数形结合法,都离不开引例解答中的这张图.

(完)