“指对幂”比较大小问题策略研究
——从一道高考真题说起

李 林

(甘肃省山丹县第一中学)

“指对幂”比较大小问题是历年高考的热点题型,当这类问题难度一般时,它主要考查指数函数、对数函数和幂函数性质的灵活运用.那么,破解这类问题有哪些基本策略呢?

1 直接利用函数的性质

直接利用函数的性质就是从题设所给数值的结构特征直接构造指数函数、对数函数或幂函数,然后利用这些函数的性质直接比较大小,这类问题难度不大.

例1已知a＝ln,b＝ln(lg2),c＝lg(ln2),则a,b,c的大小关系是( ).

A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞c＞a

点评本题给出的三个数值都具有对数形式,故直接根据对数函数的性质:当x＞1时,lnx＞lgx,当0＜x＜1时,lnx＜lgx来比较它们的大小.

2 引入媒介值

引入媒介值就是当两个数值无法直接利用函数的性质比较大小时,可引入中间量(如0,1)分别与它们比大小,再利用不等式的传递性得出它们的大小.

例2已知a＝,b＝log2425,c＝log2526,则a,b,c的大小关系是( ).

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.c＞b＞aD.b＞c＞a

所以c＜b,即b＞c＞a,故选D.

点评本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合,解题的关键在于运算的技巧以及性质,本题的媒介值是1.

3 同构法

所谓同构法就是根据题中所给式子的共同特征构造函数,并利用该函数的单调性确定大小关系.为了同构函数,往往需要先对题目给出的式子进行变形.

4 数形结合法

所谓数形结合法,就是通过观察几个函数图像的位置或它们的交点,直观判断数值的大小.

例4已知x,y,z均为大于0的实数,且2x＝3y＝log5z,则x,y,z大小关系正确的是( ).

A.x＞y＞zB.x＞z＞y

C.z＞x＞yD.z＞y＞x

解析因为x,y,z均为大于0的实数,所以2x＝3y＝log5z＝t＞1,进而将问题转化为函数y＝2x,y＝3x,y＝log5x与直线y＝t＞1的交点的横坐标关系,作出函数图像,如图1所示,由图可知z＞x＞y,故选C.

图1

点评本题本质上是将问题转化为函数y＝2x,y＝3x,y＝log5x与直线y＝t＞1的交点的横坐标关系.

5 构造函数并利用导数

当待比较的三个数值没有共同特征时,一般采用作差(或作商)法比较,这里往往需要根据作差(或作商)后的式子来构造函数,再利用导数来研究该函数的单调性或最值.

令g(x)＝(1＋x)1.2－ex,则g′(x)＝1.2(1＋x)0.2－ex,g″(x)＝0.24(1＋x)－0.8－ex.因为g″(x)在(0,＋∞)上单调递减,且g″(0)＝0.24－1＜0,所以当x＞0时,g″(x)＜0,g′(x)单调递减,因为g′(0)＝1.2－1＞0,g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2,要比较1.21.2与e0.2的大小,就比较ln1.21.2与lne0.2的大小,即比较1.2ln1.2 与0.2 的大小.令h(x)＝(1＋x)ln(1＋x)－x(x＞0),则h′(x)＝ln(1＋x)＞0,所以h(x)在(0,＋∞)上单调递增,h(x)＞h(0)＝0,当x∈(0,＋∞)时,(1＋x)ln(1＋x)＞x,所以1.2ln1.2＞0.2,则1.21.2＞e0.2,所以g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2＞0,所以当x∈(0,0.2)时,g′(x)＞0,所以g(x)单调递增,g(x)＞g(0)＝0,则(1＋x)1.2＞ex,所以(1＋0.02)1.2＞e0.02,即z＞x,所以z＞x＞y,则c＞a＞b,故选D.

点评本题考查导数的应用,考查利用导数比较大小,解题的关键是对已知的数变形,然后合理构造函数,通过导数判断函数的单调性.

其实,求解这类比较大小问题,没有统一的固定模式和解题思路,只有具体问题具体分析,除了上文提到的几种策略外,还可能用到特殊值法、估算法和放缩法等,可谓方法灵活多样.

(完)