立足方法引领 强化模型建构

李 颢

(江苏省苏州实验中学)

现实世界千姿百态、丰富多彩,形式不同的表象背后可能蕴藏着始终如一的本质,在数学世界中更是如此,条件不同的题目可能有着相同的解题方法.波利亚曾经说过:“对一个特例之所以要进行这样周密的描述,目的就是为了从中提出一般的方法或模型,这种模型,在以后类似的情况下,对于读者求解问题,可以起指引的作用.”高三复习繁重而复杂,如何建构模型,提高学生在问题识别、方法提炼、思维萃取等方面的能力显得尤为重要.

解三角形是高中数学的一个重要知识,也是历年高考必考的一个热点,解决这类问题往往需要利用正弦定理、余弦定理、向量以及平面几何等知识,具有一定的技巧性和综合性.其中,不少题目会围绕角平分线、中线来命制,这些题目的背景图形类似,基本模型来自于课本,本文将围绕此类模型,探究这类问题的一般解决方法,以便能帮助学生提高解题效率.

1 问题呈现

例1记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2＝ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC＝asinC.

(1)证明:BD＝b;

(2)若AD＝2DC,求cos∠ABC.

这是2021年全国Ⅰ卷的第19题,属于中等难度题目,如果放在平时练习,相信很多同学都可以完成,但是如何在有限的时间里快速地解决问题,这才是关键,所以我们要熟练掌握解决此类模型的通性通法.下面首先来看一下来自于教材的两个基本模型.

2 基本模型

在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,∠BAC＝2α,D为边BC上的点.

模型1若AD平分∠BAC,如图1所示,证明:

图1

模型2若AD为BC的中线,如图2 所示,证明:AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2),即

图2

这两个模型分别改编自《数学必修5》(江苏凤凰教育出版社)课本第10页例5和《数学必修第二册》(人民教育出版社)第53页第15题.本文通过这两个基本的模型,对不同的问题进行深入分析,从而认识它们本质上的联系,以期培养读者对模型的概括能力,提高这一类问题的解题效率.下面我们来看具体的证明方法.

3 解法探究

证法3延长AD至E,使得AD＝DE,连接BE,如图3所示,易知△ADC≌△EDB,所以BE＝b,∠BED＝∠CAD.在△ABE中,有

图3

证法4如图4所示,以点A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(c,0),C(bcos2α,bsin2α),所以,那么

图4

由余弦定理可以得到

我们探究这两个基本模型的目的,不是让同学们记住这些结论,而是在探究的过程中寻找解决此类问题的通性通法.证明模型所用的向量法、面积法、解析法、几何法等都是解三角形问题比较典型而重要的方法,接下来我们可以试着运用以上的方法来解决例1的第(2)问.

4 解决问题

解法1因为AD＝2DC,如图5所示,在△ABC中,有

图5

又b2＝ac,所以

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC,所以

联立式③和④,可解得6a2－11ac＋3c2＝0,所以a＝.下同解法1.

解法3过点C作AB的平行线交BD的延长线于点M,如图6 所示,则△CDM∽△ADB,所以

图6

解法4以D为坐标原点、AC所在直线为x轴,过点D垂直于AC的直线为y轴,DC长为单位长度建立平面直角坐标系,如图7 所示,则D(0,0),A(－2,0),C(1,0).

由(1)可知点B在以D为圆心、3为半径的圆上运动,设B(x,y)(－3＜x＜3),则

图8

而b2＝ac,即

故有∠ADB＝∠ABC,从而∠ABD＝∠C.

通过分析高考试题,我们能感受到平时学到的基础知识和基本技能是以怎样的方式出现的,是如何被“改头换面”的,因此我们要学会将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题去解决,这就要求我们熟悉一些基本的模型,这样才能够做到运用自如.

5 模型应用

例2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A＝,若BC边上的中线AM的长为2,求△ABC面积的最大值.

解法3延长AM到D,使得AM＝MD,连接BD,如图9 所 示,易 知△ACM≌DBM,所 以BD＝CA＝b,∠DBM＝∠ACM.在△ABD中,AB＝c,BD＝b,∠ABD＝,由余弦定理可得16＝b2＋c2＋bc,下同解法1.

图9

解法4如图10所示,以点A为原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则所以,整理得b2＋c2＋bc＝16,下同解法1.

图10

例3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC＝120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD＝1,则4a＋c的最小值为_________.

解法2如图11所示,以B为坐标原点、BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

图11

则有a＋c＝ac,下同解法1.

6 模型推广

运用以上方法,我们还可以推导出以下的结论.

结论在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为边BC上的一点.

(1)若∠BAD＝α,∠CAD＝β,则一定有

那么对于例3,我们就可以有如下解法.

解法4如图12所示,作AE∥BC,交BD的延长线于E,则△ADE∽△CDB,所 以则结合三角形内角平分线性质,得所以AE＝c,易得△ABE为正三角形,则DE＝c－1.

图12

在平常的解题教学过程中,教师不仅要让学生学会解题,更应当培养学生解决问题的能力,这就需要培养学生对问题模型的识别与概括能力,不仅要锻炼学生解决问题的灵活性,更要锻炼学生提炼解题方法的共性、本质,从而进一步提高解题能力.

(完)