利用“取对数”变形,巧解题

郑亚志 郭晓燕

(吉林省长春希望高中)

灵活利用“取对数”变形,可将一些较难的数学问题转化为熟悉且容易解决的问题.请赏析以下归类解析,进一步感悟该变形在解题中发挥的作用.

1 根据数列递推式进行巧解题

一般地,遇到形如an＋1＝(常数k≠0)型数列递推式,可通过两边“取对数”变形,先构造等比数列,再利用等比数列的通项公式灵活解题.

点评“取对数”变形时,一般取常用对数或自然对数,当然底数不为10或e也可以.

2 根据超越函数式进行变形,巧解题

2.1 求数列的最大项

点评当数列的通项公式所对应的函数的单调性复杂而较难判定时,可借助导数加以判定.本题中函数y＝(x＞0)的求导公式未知,但知道(xα)′＝αxα－1(α为常数),(ax)′＝axlna(a＞0 且a≠1),于是先对函数解析式进行适当变形,再求导.

2.2 证明乘积最大

点评求解本题的关键在于分析函数(a＞0,x＞0)的单调性,由于不能直接利用求导法则,故需要先对函数解析式进行适当变形,再求导.

3 利用“取对数”变形转化问题

若根据散点图知道x,y两个变量满足指数函数模型y＝k·mx(k＞0,m＞0),则可通过两边“取对数”变形,将其转化为lgy＝lgk＋xlgm(或lny＝lnk＋xlnm),这样便于运用线性回归模型解题.

例4近期,某公交公司推出扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如表1所示.

表1

根据以上数据,绘制了散点图,如图1所示.参考数据,如表2所示,其中

图1

表2

(1)根据散点图判断,在推广期内,y＝a＋bx与y＝c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由)?

(2)根据(1)的判断结果及上表数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.

参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

解析(1)根据散点图可以判断,y＝c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型.

(2)对y＝c·dx两边同时取常用对数,得

故所求回归方程为y＝101.54·(100.25)x,活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470.

点评解决此类试题需要特别注意的地方:一是利用公式求解回归直线的斜率和回归直线的截距;二是在求解线性回归方程时,若线性回归方程中有参数,则可根据回归直线经过样本点的中心(,),求出参数.

(完)