关注“裂项”新动态

伏建彬 郝文华

(1.徐州高等师范学校 2.北京师范大学盐城附属学校)

1 问题的提出

高考评价理念由传统的“知识立意、能力立意”转向“能力为重、知识为基、价值引领、素养导向”,基于此,高考试题的命制风格也会随之发生转变.纵观近几年高考数学试卷,总体给人一种耳目一新的感觉,试题虽不失通性通法,但普遍立意深远、灵活多变.命题风格的变化,也给高考备考复习带来一定的“压力”,传统讲练式的复习效果似乎越来越不明显,这不仅仅体现在几个“难题”上,“基础题”也不再是“一成不变”的.特别是较为简单的解答题,将数列与解三角形、基本初等函数等知识交会,在这类题上“卡壳”的同学大有人在,这不得不引起一线教师的关注.本文以数列试题中近几年出现的“裂项求和”为例,通过几个典型的问题,展示试题裂项的创新点,反思复习备考的实施路径及基本策略.

2 创新体例评析

2.1 指数式裂项

例1已知Sn为数列{an}的前n项和,a1＝1,且nan－Sn＝n2－n(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

点评由于数列{bn}为分式结构形式,分母为相邻两项之积,自然想到裂项相消求和,但此过程利用到了22n＋1＝4×22n－1这一独特性质,前面提取即可成功裂项.从以往高考试题可以看出,指数式裂项还会出现新的变化与延伸,例如,一次式与指数式的组合:

2.2 对数式裂项

例2已知数列{an}中,a1＝1,a3＝9,{an＋1－an}是公差为2的等差数列.

(1)求{an}的通项公式;

点评尽管数列{bn}不是裂项的标准结构,但因为对数运算这种独特的变化形式,也会产生相邻两项差的结构,这在试题中也会偶尔出现.

2.3 三角函数式裂项

例3在1 和100 之间插入n个实数,使得这n＋2个数构成单调递增的等比数列,将这n＋2个数的乘积记为Tn,再令an＝lgTn(n≥1).

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn＝tanan·tanan＋1,求数列{bn}的前n项和Sn.

解析(1)an＝n＋2(求解过程略).

(2)易知

点评本题巧妙地将裂项相消法、两角和与差的正切公式结合在一起,看似无从下手,但若能认识到高中阶段只有两角和与差的正切公式才具有bn＝tanan·tanan＋1(“正切×正切”)的独特结构形式,问题便可迎刃而解.

例4已知2n＋2个数排列构成以qn(qn＞1)为公比的等比数列,其中第1个数为1,第2n＋2个数为8,设an＝log2qn.

所以数列{bn}的前100项和S100＝－99.

点评对于三角函数式裂项,除了上述正切公式外,近年来,在高中数学竞赛及高校强基计划校考中还偶尔会出现利用“积化和差”“和差化积”等公式进行裂项.

2.4 阶乘式裂项

例5已知数列{an}各项都为正数,且－nanan－1＋an－nan－1＝0(n≥2,n∈N*),a1＝1.

(1)求{an}的通项公式;

点评在高中阶段,数列的求和方法大体分为公式法、分组求和法、并项求和法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法,具体解题过程中,往往需根据式子的结构特征来选取合适的求和方法.本题为分式结构,可先尝试裂项,再从后往前推即可.对于阶乘式裂项,除了上述结构外,还有n·n!＝(n＋1)!－n!,直接利用此裂项,可求得1!＋2·2!＋3·3!＋…＋n·n!＝(n＋1)!－1.

2.5 奇偶项裂项

例6已知数列{an}满 足a1＝14,an＋1＝3an－4.

(1)求{an}的通项公式;

解析(1)an＝4×3n＋2(求解过程略).

(2)由题意可得

点评奇偶项裂项中间用“＋”相连,这与常规裂项不同,之所以能够“相消”,是因为有(－1)n来进行正负号的调节,求解问题时需引起注意.

2.6 无理式裂项

例7已知正项数列{an}满足a1＝1,且

2.7 放缩裂项

例8已知数列{an}的前n项和为Sn,a1＝2,(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

点评对于此类问题,求和往往伴随着放缩,解题时需根据式子的结构特征适度放缩,构造裂项的条件,使求和的结果恰到好处,需注意放缩的起点项的选取.

2.8 其他裂项

例10意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{fn}称为斐波那契数列,化简

点评裂项的本质属性是“分解与组合”,此方法并非数列求和的专属方法,学生在考试过程中之所以出现思维“卡壳”,并非学生不知道有裂项这种求和方法,而是学生不知道何时用到此方法,或不知道如何创设利用此方法的条件,这就需要丰富“分解与组合”的变形样态和表征形式.

3 小结

随着近年来试题灵活度的增强,学生直接套公式进行解题有时已经不起作用了,单纯通过记忆几种裂项相消的结论来处理裂项求和问题,是达不到解题效果的,而不断总结新出现的裂项模式又无形增加了学习负担,新题层出不穷,裂项形式也总结不完,如果再遇到新题,可能还是束手无策.教师在教学中要淡化解题技巧,减少机械性训练,避免把教学的重心放在裂项形式的总结上,要引导学生用研究者的眼光分析问题,挖掘数学的本质,通过对数学思维的训练来提升自己的解题素养.裂项的本质不仅仅是一种解题方法,更是一种思维方式,即通过分解、重组数列中的项,来相互抵消部分项,而达到求和的目的.在教学实践中,教师要鼓励学生大胆地尝试,富有创造性地分裂、变形、配凑,而不是程序化地记忆裂项模式,应在问题解决的过程中,提升学生的创新能力,培养学生的创新意识.

(完)