强基计划数学备考系列讲座(17)
——不动点与不变性

王慧兴(正高级教师 特级教师)

(清华大学附属中学)

同学们熟知函数的零点、极值点,这里介绍强基计划数学笔试常考的“不动点、稳定点与周期点”,这些内容在高考试题中也有所涉及.

1 知识要点

1.1 函数不动点与稳定点

定义1方程f(x)＝x的实数解,称为函数y＝f(x)的不动点.直观上表现为函数y＝f(x)的图像与直线y＝x的交点P(x,f(x))的横坐标,同时,把迭代函数y＝f(f(x))的不动点,即方程f(f(x))＝x的实数解称为函数y＝f(x)的稳定点,也称为二阶不动点.

按定义,函数f(x)的不动点与稳定点的集合分别为A＝{x∈R|f(x)＝x},B＝{x∈R|f(f(x))＝x},若A＝∅,则A⊆B;若A≠∅,则任取x0∈A,都有f(x0)＝x0,所以f(f(x0))＝f(x0)＝x0,从而x0∈B,所以A⊆B.

任一函数f(x)的不动点都是其稳定点,这提供了求解稳定点方程的一个分解、降幂视角.

定义2函数y＝f(x)的一个稳定点,如果不是不动点,则称为其周期点,函数周期点的集合C＝BA.

任取函数y＝f(x)的周期点x0,记f(x0)＝y0,则f(y0)＝f(f(x0))＝x0,所以f(f(y0))＝f(x0)＝y0,故y0也是函数y＝f(x)的一个周期点,P(x0,y0)与P′(y0,x0)是其图像上关于直线y＝x对称的两点.

一次函数f(x)＝ax＋b(a≠±1,0)都有唯一稳定点与不动点,两者是同一数值;一次函数f(x)＝x＋b(b∈R{0})没有不动点,也没有稳定点.特别地,一次函数f(x)＝x的不动点集合是R,因此其稳定点集合也是R;一次函数f(x)＝－x＋b(b∈R)有唯一不动点x＝,而其稳定点集合是R.

对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),一方面,如果f(x)存在不动点,则不动点也是稳定点;另一方面,如果f(x)没有不动点,即方程ax2＋bx＋c＝x没有实数解,这是一个值得注意的结论.基于几何直观,直线y＝x与抛物线y＝f(x)没有公共点,从而抛物线y＝f(x)整体位于直线y＝x上方,或整体位于y＝x下方;若是前者,则a＞0 且f(x)＞x(∀x∈R),从而f(f(x))＞f(x)＞x(∀x∈R),所以方程f(f(x))＝x无实数根,即函数y＝f(x)没有稳定点;若是后者,则a＜0且f(x)＜x(∀x∈R),从而f(f(x))＜f(x)＜x(∀x∈R),所以方程f(f(x))＝x无实数根,即函数y＝f(x)没有稳定点.再给出方程分析:a(f(x))2＋bf(x)＋c＝x,即

故函数y＝f(x)也没有稳定点.

性质单调递增函数f(x):R→R的稳定点都是其不动点.

证明任取函数f(x):R→R 稳定点x0,则f(f(x0))＝x0.下证:f(x0)＝x0.

假设f(x0)≠x0,则f(x0)＜x0或f(x0)＞x0,由f(x)是增函数,得

两种情形均矛盾,故增函数f(x):R→R 的稳定点都是不动点.

注:这条性质对单调递减函数不成立,例如:定义在R上的减函数f(x)＝－x＋b(b∈R)有唯一不动点x＝,而其稳定点结合是R.

1.2 递推数列不动点与稳定点

由一个函数y＝f(x)定义一个递推数列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*),如果a1恰好是函数f(x)的不动点,即方程f(x)＝x的解,则这个递推数列就是一个常数列.因此,把函数y＝f(x)的不动点称为递推数列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*)的不动点.

高阶递推数列{an}:an＋k＝f(an＋k－1,an＋k－2,…,an)(n∈N*)的不动点是指以x取代递推公式中an＋k,an＋k－1,an＋k－2,…,an每一项所得方程x＝f(x,x,…,x)的解.

无穷递推数列的不动点代表着其延伸趋势,深度探究一个递推数列的单调性、有界性以及敛散性等,通常可从其不动点与周期点入手.

1.3 不变性与切比雪夫多项式

1)保域函数与等域区间

比不动点与稳定点更一般的概念是函数的“保域”性.

定义3如果函数y＝f(x)(x∈D)的值域M＝D,则称之为保域函数.特别地,如果定义域D＝[m,n]或(m,n)(m＜n),则称这个区间为保值区间(或等域区间),也可类比理解无穷型等域区间.

例如,幂函数f(x)＝x3或g(x)＝均有3个不动点x＝－1,0,1,则(－∞,－1],(－∞,0],(－∞,1],[－1,0],[－1,1],[－1,＋∞),[0,1],[0,＋∞),[1,＋∞)以及(－1,＋∞)都是其等域区间.

下面给出两个充分条件.

如果增函数f(x)有两个稳定点m,n(m＜n),则[m,n]是f(x)的一个保值区间;如果增函数f(x)有n个不动点x1＜x2＜…＜xn,则函数f(x)有C2n个等域区间[xi,xj](1≤i＜j≤n).

例如,幂函数f(x)＝x3是增函数,并且它有三个不动点x＝－1,0,1,因此它有三个等域区间:[－1,0],[0,1],[－1,1].

2)切比雪夫多项式函数

定义4在cos(nθ)的展开式中,取cosθ＝x,得到一列多项式Tn(x):T0(x)＝1,T1(x)＝x,T2(x)＝2x2－1,T3(x)＝4x3－3x,T4(x)＝8x4－8x2＋1,…,且有递推关系Tn＋2(x)＝2xTn＋1(x)－Tn(x)(n∈N),其中每个多项式Tn(x)都称为切比雪夫多项式.

由定义可知切比雪夫多项式Tn(x)都是保域函数,[－1,1]是其等域区间.

1.4 递推数列的单调性与敛散性

递推母函数:用一个函数y＝f(x)定义一个递推数列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*),则称函数y＝f(x)为数列{an}的递推母函数.

定理如果递推数列{an}:an＋1＝f(an)(n∈N*)的递推母函数在R 上单调递增,并且有不动点x1,x2(x1＜x2).

(1){x∈R|f(x)＞x}＝(x1,x2),{x∈R|f(x)＜x}＝(－∞,x1)∪(x2,＋∞).

当a1∈(－∞,x1)时,数列{an}单调递减;当a1∈(x1,x2)时,数列{an}单调递增,并且收敛于x2;当a1∈(x2,＋∞),数列{an}单调递减,并且收敛于x2.

(2){x∈R|f(x)＜x}＝(x1,x2),{x∈R|f(x)＞x}＝(－∞,x1)∪(x2,＋∞).当a1∈(－∞,x1)时,数列{an}单调递增,并且收敛于x1;当a1∈(x1,x2)时,数列{an}单调递减,并且收敛于x1;当a1∈(x2,＋∞),数列{an}单调递增.

2 典例精析

2.1 概念理解

按上文,二次函数的不动点都是其稳定点,并且当二次函数没有不动点时,它也没有稳定点.这样一个值得关注的结论,常出现在高校自主命题中,但这并不是说二次函数的稳定点与不动点完全一样.

例1求f(x)＝2x2－1的不动点与稳定点.

所求实数a的取值范围即为函数g(x)＝ex＋x－x2(x∈[0,1])的值域M.由不等式ex≥x＋1,得g′(x)＝ex＋1－2x＞2－x＞0(0＜x＜1),所以g(x)是增函数,其值域M＝[g(0),g(1)]＝[1,e].

综上,实数a的取值范围是[1,e].

2.2 简解方程

2.3 数列探究

2.4 递推不变性

由数学归纳法可得

2.5 迭代不变性

例6设f1(x)＝f(x)＝2x2＋2x－1,fn＋1(x)＝f(fn(x))(n∈N*),求方程f2023(x)＝0的负实根的个数.

因为[－1,1]是切比雪夫多项式g(x)的等域区间,所以

考虑模数列{2n}(mod6):2,4,2,4,…以2为周期,所以22023≡2(mod6),从而

2.6 线性化与非线性化

例7定义{an}:a1＝a2＝2,且

由数学归纳法可知{bn}的各项都是完全平方数.

点评递推数列{an}呈现复杂非线性,先用不动点线性化,再按探究目标非线性化,这样证明计算量小、思想性强.

2.7 递推有界性

例8在数列{an}中,a1＝1,an＋1＝＋1(n∈N*),若存在常数c,对任意的n∈N*,都有an＜c成立,则正数k的最大值为( ).

解析由k＞0,a1＝1,an＋1＝＋1(n∈N*),可知an＞0(n∈N*),故满足题设条件的常数c＞0.

先考虑数列{an}的不动点:方程x＝kx2＋1的解是数列的不动点,取其中较小一解为

(1)由x1＝a＞3,得

假设已得到2＜xk＋1＜xk,则

由数学归纳法可得2＜xn＋1＜xn(∀n∈N*),故数列{an}单调递减且有界,存在极限A∈[2,a),对递推关系取极限,得即A＝2,所以数列{an}收敛于2.

(2)任取n∈N*,分类讨论:

若xn≤3,则由(1)得xn＋1＜xn≤3.

若xn＞3,则x1＞x2＞…＞xn＞3,则对一切k∈{1,2,…,n},都有

点评基于数列的递推母函数的不动点证明数列的单调有界性,避免了单纯基于递推方法的烦琐计算,同时也清晰体验到递推母函数不动点与收敛数列极限的关联.

2.8 保等差数列

例10函数f(x):R*→R 不是单调不减函数,并且对任意x＞0,y＞0,z＞0都有

取d＝m－n,由函数g(x)为保等差数列,可得

对固定的g(n)∈R与固定的g(m)－g(n)＞0,当正整数k足够大时,总有

(完)