对数函数中的参数问题变式探究

胡定跃

(济南市章丘区第五中学)

数学问题中通常用一个字母来表示参数,参数的变化制约着表达式的变换.已知表达式所代表的数学量的性质,求参数的值或取值范围,是常见的一类问题,破解这类问题的关键是应用以往学过的知识,合理构造含有这个参数的等式或不等式.那么,对数函数中常见的参数问题有哪些呢? 本文从一个引例谈起.

1 一个引例

引例已知f(x)＝－lg(3－ax)(a≠1)在(0,4]上是增函数,则实数a的取值范围为( ).

解析当x∈(0,4]时,3－ax＞0恒成立,所以3－4a＞0,解得a＜,由此可得本题选A.以下分析a为何大于0.

设t＝3－ax,函数y＝lgt是增函数,所以要使f(x)在(0,4]上是增函数,则只需函数t＝3－ax是减函数,可得a＞0.

点评本题是以一次函数为内函数、对数函数为外函数的复合函数问题,已知函数的单调性以及外函数的单调性已经确定,所以只需考虑内函数的单调性和原函数本身固有的定义域即可.

2 变式探究

变式1若函数y＝loga(3－ax)在[0,4]上单调递增,则a的取值范围是_________.

解析显然a＞0,且a≠1.令t＝3－ax(t＞0),则y＝logat.因为y＝loga(3－ax)在[0,4]上单调递增,t＝3－ax在[0,4]上单调递减,所以0＜a＜1.

点评本题参数既出现在内函数中,又出现在外函数中,看似要分别讨论两个函数的单调性,但由于对数函数底数是正数,所以内函数的单调性已经确定,因此只需考虑内函数在给定的区间上恒为正即可.

解得－8≤a≤4,所以实数a的取值范围是[－8,4].

点评本题中的外函数的单调性已经确定,而内函数是一个含有参数的二次函数,所以解决问题的关键如下:一是确定二次函数的单调性,找出对称轴的位置;二是保证该二次函数在所给出的区域内恒为正.由于本题给出的区间是开区间,所以列不等式时等号不可忽视.

综上,选C.

点评本题给出的是分段函数,要求这个函数是R上的减函数,应保证函数的两段都是减函数,且二次函数部分的值应大于或等于对数函数部分的值,由此可得到三个不等式所组成的不等式组.

变式4已知a＞0且a≠1,函数

满足当x1≠x2时,恒有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)成立,那么实数a的取值范围是( ).

解析函 数f(x)满足当x1≠x2时,恒 有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)成立,即函数f(x)满足当x1≠x2时,恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0成立,所以函数f(x)在R 上单调递增,且2－a＞0,a＞1,(2－a)－3a＋3≤0,解得a∈,2),故选D.

点评本题是变式3 的加强版,需先根据条件确定分段函数的单调性,再利用变式3的解法得出不等式组.

当0＜a2－3＜1 时,函数y＝log(a2－3)x在(0,＋∞)上单调递减,若x＞1,则

不满足题意.

当a2－3＞1时,函数y＝log(a2－3)x在(0,＋∞)上单调递增,若x＞1,则

满足题意,此时a2＞4,解得a＞2或a＜－2.

综上,实数a的取值范围是

点评事实上,当对数值大于0时,真数与底数都大于1,或真数与底数都大于零且小于1.本题考查了对数函数的性质.

点评要保证对数函数的值域为R,只需保证真数能取到所有正数.而本题中的真数是一次函数或二次函数,所以必须保证真数部分包含的函数与x轴有交点.本题有两个易错点:一是忽视内函数可能是一次函数;二是把值域为R 当成定义域为R 来处理.

纵观上述对数函数中的参数问题,解决问题的关键是先分清复合函数的内、外函数,再去确定它们的单调性或取值范围,最后列出含有参数的等式或不等式进行求解.在求解过程中一般要用到分类讨论思想,分类时需做到“不重不漏”,尤其是二次项系数出现参数时,它也可能是一次函数,此外还要看清给出的区间是开区间还是闭区间,从而确定不等式的等号是否能取到.

(完)