学生自主梳理 教学精准施策
——以《平面图形面积复习》为例谈“画结构”在复习课中的运用

文|陈 昱（特级教师）王 芳

“画结构” 在复习教学中的运用非常普遍，我们常常将“画结构” 的任务前置于复习课堂，通过典型作品展评来促进学生的知识复习，捕捉课堂互动中学生的真实生成，再综合利用学生在“画结构”与课堂展评中的表现，给予及时有力的针对性引导与练习。

【教学片段一】“画结构”作品课堂展评

师：课前大家整理了小学阶段学过的平面图形面积的知识，下面一起来欣赏几幅作品。这是秦同学的作品（出示图1），你能看懂吗？觉得怎么样？

图1

生：他整理的知识非常全面，有文字和字母表示公式的方法，每种图形都画出图例，但缺少各个图形面积推导的过程。

生：还可以把我们平时容易错的知识点用其他颜色的笔标注出来。

师：大家提的意见你能接受吗？

秦同学：大家提的建议非常好，我会认真修改。

师：（出示图2） 这位同学的作品就有推导过程，她是用什么方法推导出每一个图形的面积的？你同意这位同学推导面积的方法吗？

图2

生：用的是数格子的方法。

生：我觉得梯形不行，上面一层勉强变成3 格，但下面绝对不是4 格，而且圆形也不能用数格子的方法推导出面积公式。

师：你观察得很仔细，梯形和圆真的不能用数格子的方法推导出面积吗？四人小组快速讨论一下。

组1：梯形可以从任意一条高剪开，拼组变成长方形，就能用数格子的方法了。

组2：圆形也能剪拼转化成近似的长方形，当然也能用数格子的方法。不过，我们组建议要把圆形这个数格子面积推导的过程也画出来，不要搞特殊，看上去好像它不适用数格子的方法一样，容易引起别人误解。

师：真好！不仅有观点、方法，还有优化建议。其实，数格子是很基本的面积计算方法，想一想为什么这么说？小组内再快速讨论讨论。

组3：我们认为图形的面积就是看这个图形里包含多少个面积单位，这些小格子就相当于面积单位，数格子就相当于看图形里可以摆多少个面积单位。所以数格子是基本的面积计算方法。

师：（出示图3）这幅作品也有推导过程，与上一幅作品相比，有什么不一样？

图3

生：这个的推导方法不是都用数格子，长方形、正方形用数格子的方法，其他图形都是转化成长方形。

生：三角形转化成长方形这个过程有意思，与我之前探究三角形面积时想的一样，通过画图推理就搞定！

生：按照这位同学的方法，直角梯形可以转化成长方形，但普通的梯形不能直接转化成长方形，需要先变成平行四边形，再转化成长方形。

师：你们知道吗，古人推导出梯形是可以直接转化成长方形的，我们一起来看一个微课（播放图4 视频）。

图4

生：古人和我想到的那种方法是一个道理。

师：（出示图5）再来看一幅作品，请生1 说说是怎么想的。

图5

生1：长方形和正方形都是用数格子的方法，每一行有几个就代表长是几，摆了几行就是代表宽是几；平行四边形是转化成长方形；两个完全一样的三角形可以转化成平行四边形；两个完全一样的梯形也可以转化成平行四边形；圆形可以转化成长方形或平行四边形，长或底就是πr，宽或高是半径r。

生2：我明白你整理的面积推导方法与书上的方法一样，我不太明白的是，你在上面添了一些内容是什么意思？

生1：我在整理的时候发现不同平面图形的面积计算公式的推导是有联系的，然后我就把我发现的关系图画在上面了。

师：（放大关系图）这是生1的发现，你能看懂吗？

生：三角形和梯形的面积是由平行四边形面积公式推导出来的，正方形、平行四边形和圆形都是转化成长方形面积推导出来的。

生：我也看懂了这个关系图，但是它太简略了，可以通过画图说明推导过程，也就是要与下面的知识结构图结合起来就好了。

师：你的建议很好，这里就有一幅作品与你说的类似（出示图6），大家能看懂吗？

图6

生：这幅作品先用“一行摆几个，可以摆几行”数面积单位的方法推导出长方形面积公式，再将正方形、平行四边形、圆形转化成长方形推导出面积公式，其中正方形是看成特殊的长方形，然后三角形和梯形的面积公式是转化成平行四边形来推导的。

师：整理时不仅要关注知识点，更要关注知识之间的联系。（快速出示其他作品）这几位同学的作品也非常有趣有料，但因为时间原因，课堂上就不一一展示了，课下大家把自己的作品适当修改完善一下，请班长把优秀作品展示在班级 “数学广角”专栏内。

【教学思考】读懂学生，引领学习

一、“展”的策略

1.知识结构图展评的层次性

不同学生对知识内容的梳理存在个体差异，“画结构” 作品能充分体现每一位学生的个性化理解和整理。面对这些丰富多样的学生作品，我们一般会利用SOLO分类理论搭建分析与评价框架，并基于水平层次分析来实施具有层次性的课堂展评。

表1 平面图形面积“画结构”作品评价框架

不难看出，教学片段中的课堂展评正是按照作品的水平层次从低到高依次进行的：图1 还是水平1 单一结构，图3 属于水平2 多元结构，图5 则是水平2 向水平3 过渡的作品，直到图6 达到关联结构水平。这样的展评次序利于全体学生在对比评价中反思提升认识水平，最后通过修改作品改善每位学生“画结构”的实践能力。

值得注意的是，作品展评很考验教师的素质，读懂学生、准确分层、互动评价、适时拓展等已经成为 “数学画” 项目教师的基本功。教学片段中教师对图2 的处理还可以优化，表面上看似乎只是一幅多元结构的作品，呈现了不同平面图形面积的计算方法与推导过程，但是，一旦深入理解作品，就能发现小作者企图用“数格子” 方法对平面图形的面积计算“一网打尽”，只要稍加引导，很容易得出“数格子”方法触及的正是平面图形面积计算的数学本质。如此，不但沟通了各个平面图形面积计算的联系，还深刻理解了面积概念，即：不同的平面图形基于面积概念本质在面积计算上实现了一致性。所以，图2 的呈现次序可以后移，至少放到图3 后。

2.知识结构图展评的拓展性

在“画结构”作品展评时，教师经常会抓住一些课堂互动的契机，对某些内容进行适当的拓展延伸。比如片段中有学生提到“普通的梯形不能直接转化成长方形”，教师用微课形式引出“古人推导梯形面积方法”，拓展学生的知识面，弥补新课教学的不足，也让学生进一步感受平面图形面积公式推导方法的多样性与统一性。

当然，以上只是拓展的一种情况，这种内容拓展我们还有其他的处理方式。比如，由学生观点“普通的梯形不能直接转化成长方形”引出一个探究性问题：普通梯形真的不能直接转化成长方形吗？据此设计一份探究性作业，由学生课后自主研究，形成探究报告甚至小论文。

这样将课堂拓展到课外，是“画结构”课型的常态。“画结构”作品除了课前作业、课后探究以外，还有课堂展评延伸到课外，将优秀作品张贴到班级“数学广角”专栏展出，使得展评更细致、更深入、更开放、更常态、更具影响力。

二、“评”的引领

1.指向知识的关联

“画结构”教学意在引导学生对知识的整体把握和结构化理解，其关键就是知识的关联，即学生要认识到并梳理出某一单元知识的结构（此处“单元”不仅指自然单元，还有“大单元”之意）。因个体差异，有的学生对关联的把握强一些，有的则弱一些，会呈现不同的层次水平。教学需要引导每一位学生提升对“知识的关联”的认识与把握，因此课堂上基于作品的 “评价” 非常强烈地指向“知识的关联”。

片段中作品的层次性展评最终引向的是“关联结构”的作品，而把之前的理解水平作为 “未完成状态”，也是“修改完善”的对象。所以，“画关系”不仅是画结构图的关键，也成为了改结构图的重点，图7 就是图3 的修改作品。

2.指向知识的本质

需要注意的是，“对知识的整体把握和结构化理解”这句话，虽然关键词是“整体”和“结构化”，但落脚点还是“把握”和“理解”，即“画结构”教学的目的是把握知识、理解知识，需要指向知识的本质。也就是，知识的有效关联基于对知识本质的理解，对知识本质理解得越深刻就越能进行知识间的关联；反过来，能否进行知识间的关联是检验是否理解知识本质的指标。

因此，我们说图2 是特别值得关注的作品，虽说教师起初没有完全读懂，但是在展评过程中能够敏锐捕捉到作品中包含的价值，及时组织小组讨论：为什么说“数格子”是基本的面积计算方法？成功引导学生把握平面图形面积概念的本质，从而为知识的系统性梳理和结构化认识奠定基础。

【教学片段二】针对性练习

1.画一画（出示图8）

图8

师：已经画完的同学可以继续画形状不同但面积大小一样的图形，看看你能画多少种。

2.小组讨论

师：先判断组员画的图形是否正确，并说说你是怎么画的，再比较这些图形，你有什么发现？

3.展评作品

（1）出示图9

图9

师：你画三角形时划掉了一个，后来又重画一个，是怎么想的？

生：只要保证底和高的乘积是30 就行，一开始我以为底乘高等于15 就可以了，后来检查还需要除以2，面积就不是15 了。

师：你们也是这样的吗？我发现很多同学画梯形时也是有困难的，谁来说说你是怎么快速画出和长方形面积相等的梯形的？

生：其实和三角形一样，只要保证上底和下底的和乘高等于30就行，因为它的面积也要除以2。

（2）出示图10

图10-1

图10-2

图10-3

师：对比观察这些图形，你有什么发现？

生：面积相等的图形，形状不相同。

师：面积相等的图形，形状不一定相同，这里需要加一个“不一定”更加严谨一些，因为有时候它的形状又是一样的。

生：我发现面积都是15 的图形不仅形状可以是平行四边形、三角形和梯形，而且即使都是同一种图形，形状也不一样，比如虽然这两个平行四边形的面积都是15，但是它们的底和高就不一样，形状也不一样。

师：观察真仔细！再来看看这组图形（出示图11），大家又有什么想说的呢？

图11

生：即使等底等高的平行四边形，形状也有可能不一样，因为角度不一样了。

师：除了平行四边形，三角形、梯形也会出现这种情况吗？

生：会！

师：请你在已经画好的三角形和梯形旁边画一个与它等底等高但形状不一样的三角形和梯形。

（学生画图略）

（3）出示图12

图12

师：刚刚我们发现了面积相等时同种图形之间的关系，那不同图形之间存在什么关系呢？请看这些图形，可以两两比较，四人小组交流讨论。

生：面积相等的平行四边形和三角形，高相等，那么三角形的底就是平行四边形的底的2 倍。

生：面积相等的平行四边形和三角形，底相等，那么三角形的高就是平行四边形的高的2 倍。

（4）出示图13

图13

师：观察这个梯形，你能画出与它面积相等高不变的不同图形吗？请想一想，在头脑里画一画。

（教师指名说一说，课件适时出示相应图形，如图14）

图14

师：仔细观察，你发现了什么？先小组内说一说，再说给全班同学听。

生：当高不变时，上底和下底的和都是10cm，面积也不变。

生：我们组发现，三角形、梯形和长方形的面积计算也是有联系的，当梯形的上底越来越小，最后变成0 时，就得到三角形，当梯形的上底越来越大，变成与下底一样大时，就得到平行四边形和长方形，它们都可以用梯形面积公式来计算面积，也可以转化成它们自己的计算方法。

师：为你们的发现点赞，听懂了吗？我们一起来看微课学习一下（播放相关微课视频）。看完微课你又有什么新的感受？

生：梯形面积公式也可以推导出三角形、平行四边形和长方形的公式，真的是太神奇了！

生：图形之间是可以相互转化的，不同图形的面积计算是有联系的。

【教学思考】建立关联 融会贯通

一、“练”的设计

1.聚焦图形关系

“画结构”作品展评已经突出了不同平面图形面积计算方法上的关联，但依据作品评价框架分析发现，展评前达到水平3 的学生只占17.4%，学生对这一知识关联结构的整体认识水平较低。因此，复习课设计了聚焦图形关系的针对性练习。

这一组练习围绕 “画与已知长方形面积相等的不同平面图形”展开，通过多次对比引导学生依次发现：面积相等，形状不一定相同；面积相等的同一种图形，形状也不一定相同；面积相等且等底等高的同一种图形，形状也不一定相同；面积相等的平行四边形和三角形，若底相等，则三角形的高是平行四边形的2 倍，若高相等，则三角形的底是平行四边形的2 倍。梯形比较特殊，所以单独设计了 “画与已知梯形等积等高的梯形”活动，再通过交流反馈发现：梯形高不变时，两底之和保持不变，则面积不变；并结合动图演示进而发现：当上底=0 时，梯形就变成三角形；当上底=下底时，梯形就变成平行四边形或长方形等；并且三角形、平行四边形、长方形的面积计算公式都可以由梯形面积公式推导得出。学生在自主探究、直观演示和讨论交流中深刻认识到图形之间、图形面积计算之间是相互联系且可以相互转化的，达到了知识的融会贯通。

2.给予操作工具

本练习提供方格纸，学生的画图操作和观察比较都在方格纸上完成。方格纸在“数学画”教学中是常见的操作工具，可以赋予直观之“形”以精确之“数”，从而更容易量化把握，更容易发现图形关系。

本练习还运用了平行线工具（如图14），非常形象直观地呈现等积等高的梯形随着底的改变，形状发生的变化，利于学生发现规律、感受联系。

二、“练”的实操

1.错例的价值

练习设计再好也需要在实际操作中落实，学生在实际练习中出错是最自然、最常见的现象，经验丰富的教师总会抓住错例组织教学，提高练习实效。

片段中教师没有放过学生画图中的错误，一般个别性错误在巡视过程中点对点就解决掉了，而当教师巡视发现很多学生对于“画与已知长方形面积相等的三角形和梯形”存在困难时，就借助错例将问题暴露在全班面前，放慢展评进程，不仅请错例小作者说想法，还请学生概述此类画图的一般方法，找到问题的症结：因为三角形和梯形面积计算时底乘高后还要除以2，所以画与长方形等积的三角形和梯形时，底（高）相等，则高（底）必须是长方形对应长度的2 倍。

错误是教学的契机，高明的教师不但不回避，反而会利用学生的错误引发思考，让学习真正发生。

2.讨论的时机

以上练习片段，组织了三次小组讨论，前两次都是为学生比较所画图形发现关系而预设的活动，第一次放在学生刚画好图形时，需要交流各自画法，再对比讨论，这是基础性的；第二次聚焦面积相等的平行四边形和三角形，比较它们的底、高关系，属于聚焦性的；第三次不在预设内，而是实际操作中发现学生对等积等高梯形的底与形状的变化情况不能很快发现规律，所以在全班交流前组织小组讨论，姑且称之为缓冲性的。

简言之，学生在需要了解同伴思维时、在需要集中解决问题时、在独立学习遇到困难时都可以组织同伴间的讨论。片段中则是通过把握讨论时机，引导学生顺利发现知识间的联系，完成对知识的结构化理解。