概率计算须“善”思而后行

肖学军

在遇到概率问题时，我们应该做到：审视题目要仔细，如摸球游戏是“有放回”，还是“无放回”，条件不同，结果也不一样；选用方法要得当，如有些问题适宜用树状图，而不适合用表格；概念理解要清晰，如频率和概率不是一回事，不能混淆。

一、有放回与无放回

例1 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同。晓君从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静再从袋中任意摸出1个球。两人都摸到红球的概率是（）。

A.[110]B.[225]C.[425]D.[25]

【解析】将红球与黄球依次编号，红球记为红1、红2，黄球记为黄1、黄2、黄3，列表如下：

由表格可知，共有20种等可能结果，其中两人都摸到红球的结果有2种，所以两人都摸到红球的概率为[220]=[110]。故选A。

【点评】本题是 “无放回”情形，若是“有放回”，则共有25种等可能结果，其中两人都摸到红球的结果有4种，此时概率为[425]，所以要注意题设条件。

二、表格与树状图

例2 “三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）：

（1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是；

（2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有兩个孩子是女孩的概率。

【解析】（1）第三个孩子是男孩的概率是[12]。

（2）画树状图如下：

由图可知，共有8种等可能的结果，其中至少有2个女孩的结果数为4，故至少有2个女孩的概率为[48]=[12]。

【点评】当事件存在两次试验时，既能用画树状图法，也可用列表法；但当一个事件涉及三次试验（如本例第2问）或更多次时，为便于不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。

三、频率与概率

例3 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表：

①通过上述试验结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；

②第2000次试验的结果一定是“盖面朝上”；

③随着试验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53。

其中正确的是（填序号）。

【解析】①通过上述试验结果，可以看出盖面朝上的频率大于0.5，所以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②第2000次试验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着试验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确。综上，答案为①③。

【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识。 一般情况下，频率不等于概率，但是随着试验次数的增多，频率会逐渐稳定到某个常数附近，这时可用这个常数来近似表示概率。

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）