如何确定幂函数的解析式

■于梦瑜

求幂函数的解析式时,要明确幂函数的定义,形如y=xα(α∈R)的幂函数,要注意xα的系数为1。求幂函数的解析式时,要注意幂函数性质的应用。

一、结合函数的定义求幂函数的解析式

评析:已知函数是幂函数,可设该函数为y=f(x)=xα(α∈R),这样就可待定其中的参数值α,从而求得幂函数y=f(x)的解析式。

二、结合函数的图像求幂函数的解析式

例2 若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm2+m-1的图像与坐标轴没有交点,求实数m的值。

解:由f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1是幂函数,可得m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3。

当m=3 时,f(x)=x11的图像过原点(0,0),这时与坐标轴相交,不合题意;当m=-1时,f(x)=x-1的图像与坐标轴无公共点,符合题意。故实数m=-1。

评析:对于幂函数y=xα(α∈R),当α>0时,y=xα的图像过两个定点(0,0)与(1,1)。由幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1的图像与坐标轴没有交点,可判断m2+m-1<0。

三、结合函数的奇偶性求幂函数的解析式

例3 已知幂函数y=f(x)=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2

求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求当x∈[0,3]时f(x)的值域。

解:因为m∈{x|-2

对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数。

当m=-1 时,f(x)=x2,此时满足条件①,不满足条件②;当m=1 时,f(x)=x0=1(x≠0),此时条件①②都不满足;当m=0时,f(x)=x3,此时满足条件①②,且在区间(0,+∞)上是增函数。

综上可得,幂函数的解析式为f(x)=x3,所以当x∈[0,3]时,f(x)的值域为[0,27]。

评析:解答这类问题,要明确y=x,y=这五类幂函数的单调性。由函数的性质,确定幂函数解析式中所含参数的值是求解幂函数解析式常用的手段。

四、结合函数的单调性求幂函数的解析式

例4 函数f(x)=(m2-3m+3)·xm2+m-3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式。

解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=2或m=1。

当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数,符合题意;当m=1 时,f(x)=x-1在(0,+∞)上是减函数,不合题意。

综上可得,f(x)=x3。

评析:解答本题时,因不理解幂函数的定义而找不到“m2-m-1=1”这一等量关系,因此容易导致解题受阻。需要注意的是幂函数与指数函数的解析式“形同”而“实异”,一定要区分清楚,以防出错。