对条件多余试题的再认识

姜梦洁　刘冰楠

[摘  要] 条件多余试题以往被认为是不当命题，但如今一些试题有意创设多余条件，摒弃解题套路，这符合素养立意的命题原则. 文章以2022年各地中考数学试题为例，分析其中几道典型的条件多余试题，这些试题的条件看似“多余”，实际承载着不可忽视的育人价值，教师在相关教学与命题中应注重：丰富情境创设，践行学科德育;构造一题多解，培养高阶思维;创新试题形式，关注数学本质.

[关键词] 中考数学;条件多余;试题命制

研究背景

数学试题中的已知条件并非解题的充要条件，删去某条件仍可解题，此类题称为条件多余试题. 这类试题在过去往往被认为命题不严谨、命题失误而不应出现，但如今初中数学学业水平考试中却开始出现形式多样、立意丰富的条件多余试题，引发大家对条件多余试题进行再认识. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）指出，学业水平考试的命题原则是“坚持素养立意，凸显育人导向”[1]. 中考试题命制对于开展与评价教学具有重要的作用，而一些条件多余试题创新性地打破常规，更有利于综合考查学生的数学素养. 下面以2022年部分省市的中考数学试题为例，分析其多余条件的创设，为教师教学与试题命制提供思路与参考.

对条件多余试题进行分析

1. 情境中的多余条件

为创设问题情境而提供的、与解题无关的条件为情境中的多余条件. 此类多余条件往往用于描述现实生活中的具体数据或数量关系，引导学生从数学的视角认识现实世界，同时彰显数学的应用价值.

例1  （2022年北京中考）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累积发电量达2628.83亿千瓦·时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨. 将数据262883000000用科学记数法表示，应为（  ）

A. 26.2883×1010

B. 2.62883×1011

C. 2.62883×1012

D. 0.262883×1012

解答  262883000000用科学记数法表示，应该为2.62883×1011，故选B.

评析  本题考查科学记数法，能检测学生的运算能力与应用意识. 题干中“相当于减排二氧化碳约2.2亿吨”是与解题无关的多余条件，但减排量的可观数据能带给学生数量上的震撼冲击，能让学生体会到转变生活生产方式对环境保护的作用，能让学生增强环保意识，树立可持续发展观念，能发挥数学学科问题情境的育人价值，达到生态文明教育的目的.

2. 解题中的多余条件

能用于解題，但删去后仍可用其他方法解题的条件为试题的多余条件. 此类多余条件既拓宽了知识的考查范围，又为学生提供了一题多解的可能性，能促进学生高阶思维的发展.

例2  （2022年山西中考）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代·奋进新征程”. 某校“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如表1所示的调查报告（不完整）.

请根据以上调查报告，解答下列问题：

（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数;

（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数;

（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息.

解答  （1）先求参与本次抽样调查的学生总人数，再根据“从图书馆借阅”的人数比例求出“从图书馆借阅”的人数，其中求参与本次抽样调查的学生总人数的方法不唯一，有如下两种方法. 方法一，观察条形统计图，将单选A，B，C，D四项的人数相加，即得参与本次抽样调查的学生总人数，即96+48+123+33=300（名）. 方法二，观察条形统计图和扇形统计图，单选A选项的96人对应参与调查总数的32%，即参与本次抽样调查的学生总人数为96÷32%=300（名）（从单选B、C、D选项的人数和占比入手，算法相同）. 这些学生中选择“从图书馆借阅”的有300×62%=186（名）.

（2）本题方法不唯一. 方法一，利用条形统计图，可得3600×=1152（名）. 方法二，利用扇形统计图，可得3600×32%=1152（名）.

（3）略

评析  本题为抽样与数据分析，重点考查学生的数据观念、几何直观与应用意识. 题中扇形统计图多余，去除该条件仍可解题，此处保留该条件作用有二：其一，提供多种解法，降低计算量与解题难度;其二，考查内容覆盖面增加，两种解法相较之下条形统计图便于独立体现各组具体数值，扇形统计图更有利于反映整体与部分的关系，两种统计图同时呈现有利于加深学生对两种统计图各自优劣及转换的理解. 且选择不同统计图进行解题，也是理性思维、优化策略的体现，能将解题过程的思维层次从低阶的“记忆—理解—应用”引向高阶的“分析—评价—创造”.

例3（2022年重庆中考）用正方形按如图1所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形……按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（  ）

方形的个数为37，故选C. 方法二，观察数字特征，前4个图案中正方形的个数分别为5，9，13，17，后一项与前一项的差均为4，于是第一项为1+1×4=5，第二项为1+2×4=9，第三项为1+3×4=13，第四项为1+4×4=17. 不难发现第n项应为1+n×4=4n+1. 于是第9项为1+9×4=37，即第⑨个图案中有37个正方形，答案为C.

评析本题为规律探索类问题，考查学生的抽象能力、运算能力、几何直观与推理能力. 题干实际上给出了反映同一递进规律的图案变化与数字变化两个条件，学生任择其一即可解题，因此条件多余. 但如此命题，一方面是两个均可单独解题的条件启示学生有两种解题思路，并提供验算方案，能帮助学生提高正确率;另一方面，若将两个条件结合，不难发现“后一个图案在前一个图案的基础上增加[◇

◇]”，正方形的个数增加了4，即“后一项与前一项的差为4”，因此根据图案变化更容易直观地找到数字递进关系，从而降低解题难度. 同时，试题蕴含以形载数、以数解形的数形结合思想，能为高中等差数列的学习做铺垫.

3. 判断多余条件

在试题中给出多个可供选择的条件，由学生判断与筛选能否用于解决特定问题，此类试题为判断多余条件试题. 此类试题往往以选择题的形式呈现，将学生视角由解题转向命题，从结论出发逆向思考，考查学生的数学选择能力.

例4（2022年成都中考）如图2所示，在△ABC和△DEF中，A，E，B，D四点在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（    ）

A. BC=DE           B. AE=DB

C. ∠A=∠DEF   D. ∠ABC=∠D

[图2][B][D][C][E][A][F]

解答由AC∥DF，得∠A=∠D，要判定△ABC≌△DEF，目前已知一角及其一边对应相等，则只需构造该角的另一边或其余任一角对应相等即可. 对于选项A，BC与DE并非相等角的另一边，排除;对于选项B，AE=DB，于是AE+EB=DB+EB，即AB=DE，结合已知条件符合“边角边”判定定理，所以选项B符合题意;对于选项C和选项D，∠A与∠DEF，∠ABC与∠D均不是对应角，排除. 故此题的答案为B.

评析本题依托三角形全等的证明，重点考查几何直观与推理能力. 证明全等，除题干中的已有条件，学生还要从选项中找出可使用的条件，所以学生需要判断多余条件，筛选出证明所需的有效条件. 这种解决问题的思维过程恰如在现实世界中解决实际问题，其条件的出现形式与常规数学题不同，需要学生主动识别并明辨. 本题为学生提供了从结论出发的解题思路，有利于提升学生的逆向思维能力.

对条件多余试题命制的思考

基于以上试题分析，可见多余条件有时看似“多余”，实则承载着不可忽视的育人价值，现对条件多余试题的命制提出以下建议.

1. 丰富情境创设，践行学科德育

《课标》指出，试题命制应根据考查意图，结合学生认知水平和生活经验，设置合理的生活情境、数学情境、科学情境，适当引入数学文化[1]. 问题情境拉近了数学与学生已有知识和经验的距离，激发了学生数学学习的兴趣和动机[2]. 事实上，优质的试题情境在引发学生数学思考的同时，能寓德育于其中，凸显核心素养的育人导向.

将包含具体数据或数量关系的德育素材作为多余条件融入问题情境，能很好地发挥数学学科德育的特色，符合《中小学德育工作指南》“将德育内容有机融入各门课程教学中[3]”的要求. 一方面，诸如生态文明、社会发展等素材取自贴近学生生活的客观现实，具有现实意义，能培养学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界. 另一方面，结合具体数据或数量关系的客观现实更具说服力，能更好地实现德育功能，同时能培养学生理性分析问题、尊重客观事实的思维品质. 教师在解題或新授课教学中，都应关注问题情境的创设，融入贴近现实的德育素材，也可以以数学文化为背景，适当引入数学史，提升学生的数学文化素养，培养学生的科学精神.

2. 构造一题多解，培养高阶思维

一题多解是从不同角度分析问题，重组已有信息，通过多种方法解决问题的一种方式，其既能反映解题教学的一些普遍性现象，又对培养学生的思维具有显著的效果[4]. 经过精心设计的多余条件，能为一题多解提供可能，具有重要的价值.

其一，多余条件为解题提供了多种思路. 如例2的条形统计图与扇形统计图、例3中数与形的应用，均有助于建立数学知识之间的联系，能让学生理解和应用数学思想方法，提高解决实际问题的能力. 其二，多余条件易引起学生质疑，进而发现多解，拓展思维，且不同解法各有优劣，学生解题时经历联系与转化、抽象与扩展、批判与监控[5]的过程，有助于培养高阶数学思维. 其三，一些多余条件设置在统计与概率题中，如给出全部统计数据的同时也给出平均数，这样能减少计算量，符合教育部“科学合理设置试卷难度”[6]的要求. 其四，多解能为学生提供验算方法，而用不同方法验算的过程是对试题的再建构、对数学知识的再学习过程，能让学生在提高答题正确率的同时，养成良好的数学学习习惯. 教师可专门设置以一题多解为主题的习题课，加强学生对一题多解的重视，提升学生的思维水平.

3. 创新试题形式，关注数学本质

常规题的大量训练使学生习惯于使用解题套路，心理产生依赖，基于条件反射习惯性地将某种固定不变的方法应用于处理各式各样的情况[7]. 但现实世界中的实际问题往往无明显的规律可循，想将数学作为工具解决问题，就需要识别并筛选各种已知条件，排除多余条件后恰当处理有用条件，由表及里地正确认识问题和解决问题. 核心素养导向下的数学学习还要培养学生的数学选择能力，特别是对于数学学习中的信息，教师要注重提高学生积极、主动、有意识地做出正确、合理的筛选、吸收和加工的能力[8]. 所以教师平时应命制一些非常规题型，摒弃解题套路，发展学生的创造性思维.

判断多余条件就是一种很好的试题形式. 一方面，学生由解题视角转换为命题视角，能提升学习兴趣，且能从不同角度建构数学内容，加深对数学知识的理解. 另一方面，从结论出发寻求条件，执果索因的分析方法，是推理论证中的一种常用方法，其既能培养学生的推理能力，又能为高中阶段的学习打下基础.

结语

条件多余试题，与以往出现的由于条件互不相容[9]导致的错题（如2011年湛江中考数学第27题、2012年恩施中考第23题，均为平面几何证明题）不同. 2022年中考中以創新性的形式出现的条件多余试题，能拓宽学生的视野，提高学生的认知能力，增强学生的应用水平，也有助于真正考查素养，改变选拔人才机制中的高分低能现象，符合《课标》中“教学评价维度多元，全面考核和评价学生核心素养的形成和发展”[1]的要求，值得教师与命题人借鉴、推广.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]任旭，夏小刚. 问题情境的创设：基于思维发展的理解[J]. 数学教育学报，2017，26（04）：15-18.

[3]中华人民共和国教育部.中小学德育工作指南[EB/OL]（2017-08-22）[2022-08-08].

[4]程华. 从“一题多解”审思解题教学的思维培养[J]. 数学通报，2020，59（08）：50-54.

[5]许礼光，沈琼. 高层次数学思维的培养路径[J]. 数学通报，2019，58（05）：33-36+39.

[6]中华人民共和国教育部. 关于做好2022年中考命题工作的通知[EB/OL]（2022-03-29）[2022-08-08].

[7]彭达浩，李祎.数学解题需要套路吗[J]. 数学通报，2022，61（05）：43-45+51.

[8]张文宇. 初中数学学习选择能力研究[D]. 济南：山东师范大学，2011.

[9]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版社，2001.

基金项目：2021年度教育部人文社会科学研究青年基金项目“建党百年来我国中学数学教科书学科德育演变研究”（21XJC880002），云南师范大学2023年课程思政建设项目“数学史”（00800205020502051）.

作者简介：姜梦洁（1998—），云南师范大学数学学院硕士研究生，主要从事数学教育研究.

通信简介：刘冰楠（1986—），云南师范大学数学学院副教授，博士，硕士生导师，主要从事数学教育研究.