让理解在情境中进行

章晓东

教学内容

义务教育课程标准实验教科书《数学》（华东师大版七年级下）“平均数、中位数和众数的使用（1）”。

学生分析

这节课是借班上课，到了上课的学校我才知道这个班级基础比较扎实。由于上节课学生对平均数、中位数和众数的概念有了初步的了解，同时又考虑到大多数学生的基础较好，故本课设计了几个有一定挑战性的问题让学生来探究，相信更能激发学生的学习兴趣，从而加深对三个统计量的理解。

教学目标

1.通过对一些具有实际情境的问题的讨论，理解平均数、中位数和众数这三个统计量不总是有实际意义的，它们都有各自的适用范围。

2.体会到统计在日常生活、社会及各学科领域中的广泛应用。

3.在小组讨论、合作学习等活动中，每个学生都能发挥自己的潜能。

教学重点

对于给定数据求平均数、众数和中位数并不复杂，但在具体的现实问题中，这三个统计量并不总有实际意义，也不总是都能够很好地反映研究对象的面貌，所以本节课的重点是了解它们各自的适用范围，并能够在解决具体问题时合理选用。

教学准备

投影仪（片）、两小杯净水。教学过程

一、激趣。

师：今夭，我们先来做一个小实验。老师带了两个杯子，一个装了无色的苹果汁，一个装了净水，现在我把苹果汁全部倒入净水中。我想请几个同学来闻一下还有没有香味（其实都是净水）？

生1：有股淡淡的清香。

（有10个学生都这么说。）

生1，：闻不出味道。（众生惊讶。）

师：其实老师今天设了一个圈套，目的就是想看看哪位同学能有自己的主见，能不被老师和同伴的意见所左右。生11真的很了不起！（众生由惊讶到释然。）

师：上节课我们学了平均数、中位数和众数的有关概念，本课我们要来研究三者的选用问题，相信同学们经历了以上实验后一定能敢于发表自己的看法了！先看生活中的一个实际问题。

二、探究。

1.（出示问题）七年级某班的教室里，三位同学正在为誰的数学成绩最好而讨论，他们的五次数学成绩分别是：

小华：62，94，95，98，98

小明：62，62，98，99，100

小丽：40，62，85，99，99

他们都认为自己的成绩比另两位同学好，你知道他们的理由吗？

师：请同学们先把自己的想法写下来，然后把你思考的结果在小组里与同学交流一下，并请小组代表发言。

（学生很专注地开始计算、比较，而后进行小组交流。）

生12：我觉得是小华成绩最好，因为他平均成绩为89.4，是三个人中最高的。

师：是你的想法，还是你们小组的想法？

生12：是我们小组的想法。

师：那应该说“我们”。

生6：我们觉得小明也有道理，因为只有他一个人得过满分，并且他成绩的中位数为98分，是最高的。

师;中位数98分最高有什么实际意义吗？

生：（稍微停顿）说明小明 98分以上的高分最多。

师：说得很有理。其他同学还有不同的想法吗？

生13：我们小组认为小丽说得也有道理，她是三人中成绩众数最高的人。

生11：三位同学中，小丽的进步最大，从40分提高到99分，进步了59分，所以我个人认为小丽同学最有潜力。（是那位曾说没闻到苹果味的学生。）

师：喔！你还是那么有主见。

生14：我们小组认为小华的成绩最好，因为他除了一次考了62分外，其余成绩一直稳定在94分以上，并且5次考试有3次都超过了小明和小丽。

师;好，你们观察得很仔细，研究得很深入。

……

师：请同学们思考，高一年级录取新生主要考虑的是什么分数？

生（少数学生）：总分。

师：那么考生的总分与中位数、众数、平均数中哪一个关系较大？

生：（众）平均数。

师：是的！如果我们单纯从这一点来看，不妨可以说小华的成绩最高。但这种仅依靠一次考试的总分来录取新生的做法是否一定能体现每个学生的真实水平呢？从刚才大家的发言中，我们已经初步感受到它的一些不足。我想大家课后可以继续就这个问题进行深入探讨和交流，好吗？

2.（出示问题）某公司10名销售员去年完成的销售额情况如下表：

（1）求销售额的平均数、众数、中位数。

（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？

（学生独立思考计算，然后分组交流。）

生15.-平均数为5.6万元，众数为4万元，中位数为5万元。

师：如果你是老板，你觉得确定销售标准是多少万元合适？

生15：我想用平均数5.6万元。

师：各位同学，如果你是员工，你对这位老板的定额满意吗？

（部分学生说不满意，生11再举手。）

生11：5.6万元的定额只有4人能够完成，不利于提高大多数员工的积极性。

师：有道理！那你觉得用哪个量反映比较好呢？

生11：用中位数5万元，这样6个人能完成，4个人经过努力也基本能完成。

师：有想法！还有其他不同的意见吗？（老师本希望有学生回答众数，但生11发言后，其他学生觉得有道理，好像不想发言了。）

师：（有点迫不及待）用众数4万元行不行？

生16：如果定额是4万元，则只有1人不能完成，对老板来说是不利于赚更多的钱，我们小组也觉得用中位数合适，既有利于老板赚钱，又能提高员工的积极性。

师：分析得很有道理。的确，用中位数5万元作为定额是一举两得的事，用现在的话说叫做“双赢”。（板书在黑板上。）

3.（出示问题）一家童鞋店最近销售了某种童鞋共31双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示：

（1）从实际出发，请回答如果你是鞋店老板，你最关心的是平均数、中位数和众数三者中哪种统计特征量？

（2）试举例说明众数在生活中的应用。

生17：我最关心的是众数。

师：请说说你的理由。

生17：20厘米尺寸的童鞋卖得最多，我自然要多进这个尺寸的鞋子，这样可以为我赚得更多的钱。

师：你是一个很有经营头脑的boss（老板）。相信没有哪个鞋店老板会关心尺寸的平均数和中位数，因为它们都没什么意义。有兴趣的同学不妨到鞋店调查一下，好吗？

师：哪位同学能举例说明众数在生活中的应用。

生18：比如裤子店老板最关心哪种尺寸的裤子卖得最好。

师：还有吗？

生14：我想了解班级里哪个月出生的同学最多。

师：老师为有你這样一个关心班级的学生而高兴。（后来知其为班长。）

……

三、概括。

师：回顾本节课的学习，你有何体会和收获？每个同学先独立思考，然后把自己的想法和同伴交流。

（两分钟后，学生已开始自发交流。）

生15：通过分析平均数、中位数和众数可以帮助我们解决一些实际问题。

师;还有吗？

生14：选用时还要看具体情况而定，三种数都有不同的适用范围。有特别大或特别小的数据时就不能用平均数，而是用中位数比较好。

生19：商店最关心的是众数。

生13：分析问题应该有自己的主见。

师：当然也要坚持实事求是！

……

师：大家说得都不错，在实际选用时，要记住三个统计量并不总是有意义的，不总是合适的，都有各自不同的适用范围。平均数是最常用的指标，它表示“一般水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”。分析问题时应该有自己的主见，但也要坚持实事求是。还有从本课中我们再次领略了数学的魅力，它从生活中走来，又带着我们走向生活。

四、评价。

师：在本课即将结束之际，老师很想了解同学们对我上的这节课的评价。

1.请你根据自己的实际收获给老师打个分数，记住一定要实事求是哟。

2.请课代表统计分数。你们觉得哪个统计量能比较客观地反映大家对老师的评价？

（学生听了大多显得有些兴奋和惊奇，教室里稍稍有点乱，3分钟后各分数汇总于黑板上。）

师：（感动）老师非常感谢大家初次见面就给我这么一个大礼<学生轻笑），请你们通过观察和计算把老师的最后得分告诉我，好吗？

（学生在计算、研究。）

生21：老师，您得95分。

师：谢谢你，说说你的理由。

生21：我用众数，因为给您打95分的同学最多。

师：再次谢谢你对老师如此高的评价！

生22：用平均数，您的得分是92.11分。

生23：我觉得可以去掉一个最高分100分，去掉一个最低分79分，再算平均分，这样老师的得分为92.22分。

师：这种评分在电视里看过，不错。

生24：用中位数。

师：（眼看就要下课了，没等学生说完就插话）你如何求中位数？

生24：把51除以2得25.5，第——

师：（再次打断学生的话》应该是第（51+1）÷2=26个数据为中位数。能说说中位数是多少吗？

生24：（怯怯地、压低声音）95分。

师：（意识到了学生的反应）谢谢你给我这么高的分，能说说理由吗？

（生24一时语塞，事后了解到他还是数学优秀生。）

生11：中位数95分处在中等水平，不受最低和最高分的影响，同时它又是众数，能反映大多数同学的想法，事实上打95分以上的同学有29个，已经超过一半。所以老师您得95分！

师：（情绪有点激动）谢谢！如果老师随便问一个同学给老师打了多少分数，你觉得他（她）最有可能回答几分？

生：（众）95分。

师：为什么？

生：（众）看众数。

师：同学们说得都非常有自己的主见。但就我个人而言，如果本课中我给你们的启发和收获有92分的话，老师就已经很高兴了。我很感谢同学们对我有如此高的评价。说句心里话，我也特别感谢那位给我打79分的同学，他让我清醒地看到课堂上老师对他的关注太少，可能老师忽视了他的举手，甚至忽视了他的存在。从这点上来讲，我只能得79分。我也很欣赏他是一个有主见的、实事求是的人。我会认真记住这一分数，并努力在今后的课堂上关心每一个同学的成长，让每一个同学在课堂上都学有所获，学有所得，再次谢谢大家！

（学生鼓掌。）

五、拓展。

师：最后布！一个课题作业，每个同学今天回家调查你村上的10户人家，统计每家有几口人，明天汇总三个统计量，并由此来估计全镇每户的人口数量情况。

课后反思

一、改造教材。

本人认为，这节课在用教材教方面有两个特点。

第一，教材中的三个例题都是开放性的，学生很可能会大多指向平均数，从而忽视了中位数和众数在实际生活中的应用。故本课仅采用了和学生生活最贴近的例1（比较三人成绩）来展开，同时增加了中位数、众数的例子，并且把学生评价教师编制成例题，把相关的知识点纳入其中，既巩固了知识点，又起到了以题激情、题情交融的效果。

第二，改变了例题与习题的界限和跨度。每一个例题呈现后，我都安排学生有默读的时间，让学生独立地在读中研，在研中读，有意识地使学生学会提取、处理和加工信息，培养他们的阅读数学数据的能力，在这个基础上再开展合作交流。老师主要进行方向性的引导，从而使例题的探究交流过程就是习题的解决过程，改变了例习题之间单纯的示范、记忆和模仿，加大例题之间的思维跨度，让学生的思维不断地产生认知冲突。

二、从关注教到关注人。

首先，从关注教到关注学。由于是借班上课，我虽然做了精心准备，但囿于无法正确把握学情。我深知教师的设计再好，如果不考虑学情，则无法调动各个层次的学生思维参与的积极性，甚至会很被动。于是我就充分利用学生思考、交流的时间进行及时了解和调整，尽可能协调“预设”和“生成”的关系。为了让问题讨论更广泛和深入，我及时删掉了一个例题。整节课教师尽可能多地引发并适应学生的观念，参与学生开放式的探究，引领学生掌握真正的研究方法，自主、合作、探究地学习，从而让师生相互交流和启发，共同分享彼此的思考和经验，丰富教学内容，求得新的发现，从而实现教学相长和共同发展。

其次，从关注学到关注人。由于这节课的问题需要学生敢于发表自己的想法，故我设计了一个引例（实验），一是为了调动学生兴趣，二是为了鼓励学生讲真话。一个明显的效果是生11的发言一直很积极，很有想法。其他同学都能勇于发表自己的见解。课堂教学从关注学转向关注人就意味着要求教师要改变学科本位观，有更高的人文素质。既要关注每一位学生，多一些尊重和关心;还要关注学生的情感体验，用.，L， "施教，体现教师的人文关怀，力求从“目中有人”到“心中有人”;还要关注学生的人格养成，从而使教学过程成为学生一种丰富的人生体验，让我们的教学服务于“完整的人”的成长。

三、跳出模式，走向理念。

为了让课堂形式适合初一学生的年龄特点和认知水平，更好地服务于教学目标和内容，我一方面改变了例习题的呈现方式，把“闻一闻”（实际也是有关众数的问题）、“效果评價”放入课堂，创设真实的学习环境，激活学生已有的知识积淀，一下子拉近了师生间的心理距离;另一方面尽可能多地联系学生的生活实际和经验背景，设计有一定挑战性、开放性的教学任务，通过自主探索与合作交流（而非形式上的热闹）促使学生在较复杂的水平上理解这三种数，从而较好地达到了有效教学的目的。

另外，从构建探究性教学模式到超越模式，课堂教学更多地关注研究性教学的理念，让学生带着问题走进教室，合作探究解决问题，又带着更多更新的问题走出教室，走向生活。课堂教学是创生问题的起点，不必过于追求探究教学的形式，更多地是对问题与方法的迁移、发现，让学生有进一步探究的愿望。

四、几点不足。

虽然我还是比较注意运用“延迟判断”，给学生较充足的思考与发言的时间和空间，但有些地方还是过早地介入了学生的发言。如在计算第几个数是中位数时，生24回答第25.5个。其实不妨可以先倾听生24的真实想法，而我却过早地千扰了他的独特做法，导致他自信心受到打击，对后面的问题“一时语塞”。再如，在探究2中，我没等学生说众数（或担心学生不肯说用众数4万元），就自己替学生说了（由于生11把选用中位数5万元提前说了，打乱了我原先的设计意图）。

这节课对学生中的“弱势群体”关注也不够。新课程要求我们关注每一个学生的发展。我觉得学生评价教师的主要标准应该是他在课堂中有没有真正的收获。本课中虽然只有一个学生认为自己收获不大，给教师打了79分，另外还有好几个打了90分以下，但也足以说明我的教学设计和教学过程更多地关注了中上水平的学生，忽视了对学困生的关爱和帮助。