小组合作学习和解决问题的教学

吴仲和

教学背景

1.乔爱丝老师是具有34年教龄、白裔的美国加州小学老师。今年是乔爱丝老师攻读教育硕士的最后一年。她对数学教学的信念是老师应提供足够的机会和耐心来让学生们建构他们的数学思想。她认为老师要设法给学生提供对数学想象的空间，并且相信孩子们的智慧。

2.学生情况：全班共有20个学生，11男9女。其中，6个白种人，11个拉丁裔人，1个非洲裔人，2个亚裔人。3个学生数学成绩高于平均水平，2个学生成绩低于平均水平。

3.授课内容：乘法。授课时间：60分钟。

课例

这是一堂周一的课，乔爱丝老师使用“小数学教授”的方法让学生以小组为单位，即4人一组共5组，以合作学习方式为主，给孩子充分探索、讨论和展示数学的机会，并提高其联系实际和解决问题的能力。乔爱丝老师用小旗杆和地理的名称来命名这5个小组：平原组、南极组、河流组、北极组、草地组。

“小数学教授”方法的步骤是：（1）课的前15分钟，全班学生以小组为单位，在老师的指导和各小组长的带领下（小组长的角色是轮流担任的），讨论并建构一个老师给定的数学概念及与生活相关的应用题，将应用题写在一张课前设计好的11×8.5英寸的标准纸的中间（见图1），等问题设计好并由老师确认后，小组里的4个人分别承担完成4个不同数学任务的角色教授（分别为写关键数字、关键词、画图形表达和设计数学表达的教授），这些角色是轮流进行的；每一次新的活动都由不同的人来担任这些角色。（2）每个小组按顺序，由这些小数学教授用透明的投影纸在教室前面向全班展示他们的数学题，然后指导全班同学来探索、解决这个问题。（3）每一小组小数学教授完成任务后，全班其他学生要给台上讲授的小组进行评分考核。如果一堂课不能完成所有小组的讲解，下节课可以继续进行。

乔爱丝老师首先向学生布置今天的学习内容：她要求学生以小组为单位，讨论并实际设计一个乘法的应用题（按照课程标准，二年级的学生应能用连加和排列的方法来对乘法建模、解题并解决实际问题）。乔爱丝老师提示学生们这样的乘法应用可以是时间问题，也可以是测量问题。这时，乔爱丝老师问他们，还有什么例子可以用作乘法的应用题。学生们在窃窃私语地进行小组讨论，有的说可以用教室里的东西，有的说可以用体育比赛，还有的说可以用马戏团表演的例子。

当学生们对乘法的应用有所体会后，乔爱丝老师进一步问学生，乘法可以用什么来表达？学生1说乘法可以用除法的逆运算来表达，学生2说乘法可以用排列（Array）的方法表达，学生3说乘法可以用连续的加法来表达。乔爱丝老师显然知道对二年级学生来说，乘法可以用除法的逆运算来表达的方法有一定的挑战性，因而再一次提出她的问题：怎么样才能利用乘法与除法的关系呢？思索后，一个学生回答：可以用除法来检验乘法的对错。乔爱丝老师肯定了他的想法并再一次强调乘法与除法是可以相互检验的。在确定了学生们对乘法的概念有明确的了解后，乔爱丝老师让学生用15分钟的时间来讨论并实际设计一个乘法的应用题。

在学生讨论期间，乔爱丝老师走向每个小组与学生们共同讨论并回答学生们提出的问题。

在平原组，学生们对学校的课间休息时间很感兴趣。

乔爱丝老师：你们一天在学校有几个课间休息。

平原组：3个。

乔爱丝老师：你们能不能用课间休息次数来设计一个乘法的应用题呢？记住你们必须要用乘法。

平原组：……（平原组的学生似乎有点困惑）

乔爱丝老师：你们的课间休息时间有多长？（乔爱丝老师开始启发学生）

平原组学生1：10点半到10点45，15分钟。

乔爱丝老师：你们一天一共有多少分钟的课间休息时间？你们可以从这里开始考虑。

乔爱丝老师这时走到了南極小组并参与他们的讨论。

南极组学生1：我们想用每个小组的小旗杆来创造乘法应用题。

乔爱丝老师：那非常好。那你们怎么做呢？

南极组学生：……（南极组的学生似乎有点困惑）

乔爱丝老师：教室里有几个小旗杆呢？（乔爱丝老师开始启发学生）

南极组学生2：5个。

乔爱丝老师：那么你们怎样联系乘法呢？

南极组学生：……（南极组的学生仍然困惑）

乔爱丝老师：如果一个小旗杆长2英尺，那么总共会有多少英尺呢？（乔爱丝老师留给学生足够的空间去探索）

南极组学生们受到启发，开始建构他们的数学应用题。

乔爱丝老师走到了河流小组并参与他们的讨论。在河流小组里，有一个叫丹尼尔的学生是属于智力较高的学生，但他的问题是不能与其他人合作。

河流小组学生1：丹尼尔不愿意与我们一起工作，乔爱丝老师。

乔爱丝老师：丹尼尔，让我再重复一次今天课的内容和规定。与他人一起合作称之为“大家意见一致（Consensus）”或者叫做“小组合作学习（CooperativeLearning）”。如果你不愿意与他人合作，那你就无法参加今天的课，因为坐在这里与别人争论而浪费十几分钟的时间是毫无意义的。我让你自己做出选择：是愿意在这里与他人一起学习，还是你一个人去做其他的事？我现在去其他小组察看，等我回来时，我希望你已经有了你的选择。

乔爱丝老师讲出和别人合作的好处，让丹尼尔做出自己的决定，而不是把他调到其他组或单一地批评。

乔爱丝老师走向北极小组并参与他们的讨论。

乔爱丝老师：你们现在讨论得如何？

北极小组：我们不知道怎么做。

乔爱丝老师：怎么回事呢？你们仔细看看你们周围。这里有图片，有小花盆，还有其他物品，它们是不是有倍数关系呢？你们先数数看。

北极小组学生1：我们教室里有21个小花盆。

乔爱丝老师：看一看我们教室里有几个小组？看看是否有什么乘法的概念在里面。（乔爱丝老师提示）

北极小组学生2：如果用它除以5个小组，就会有余数。

乔爱丝老师：不要忘了老师也有1盆花。（老师幽默地说）

北极小组似乎受到了启发，开始讨论。

乔爱丝老师再次走到河流小组，察看丹尼尔的问题。

乔爱丝老师：丹尼尔，你有没有决定你是否要参加小组的活动？

丹尼尔：我们已经开始了讨论。

乔爱丝老师：哦，很好。

乔爱丝老师：你们有没有什么好的主意？

河流小组学生1：丹尼尔说，他们家的小狗可以做例子。

乔爱丝老师：丹尼尔，你说说看。

丹尼尔：我想用我们家的狗妈妈和小狗的重量作为例子。

乔爱丝老师：你们同意吗？（乔爱丝老师征求小组其他同学的意见）

河流小组学生2：我还不十分清楚丹尼尔的方法。

乔爱丝老师：丹尼尔，你把你的想法与其他同学讨论一下。

丹尼尔：好的。（丹尼尔显然受到了鼓舞）

河流小组开始了他们的讨论。

乔爱丝老师这时走到了草地小组。

乔爱丝老师：你们的例子是什么？

草地组学生1：我们想用小婴儿作为例子。

乔爱丝老师：怎么做？（这时乔爱丝老师显然注意到了约翰，一个较后进的学生）

乔爱丝老师：约翰，你对你们组的讨论有贡献吗？

草地组其他学生：小婴儿的例子就是约翰提出来的。

乔爱丝老师：哦，非常好。

草地组学生2：我们这样想：医院里护士的监护房有5个小婴儿（该生含含糊糊，无法表达清楚）。我们想用5的一半，但5是奇数，我们不能把它分成两个整数（很显然，学生2想到了乘法）。

乔爱丝老师：更重要的是小婴儿能不能分成两个半个？

草地组学生2：不能。

乔爱丝老师：所以，你也许应该改变这个数字。

草地组学生3：16怎么样？

乔爱丝老师：怎么把16与乘法联系呢？

草地组学生：……（草地组的学生似乎有点困惑）

乔爱丝老师：通常一个医院不会只有16个婴儿。（乔爱丝老师开始启发学生）

草地组学生4：哦，但是……（这个学生似乎有所启发）

乔爱丝老师：想想看这个医院有几个护士的监护房？讨论一下。

乔爱丝老师再次来到平原组，这时学生已经有了初步的草稿：

平原组学生1：我们的第一次课间休息是10∶30开始的，第二次课间休息是11∶55开始的，从第一次课间休息到第二次课间休息的间隔时间是多少？

乔爱丝老师：你们是在做乘法么？

平原组学生2：……（学生2在思考）

乔爱丝老师：这是非常好的减法应用题，但不是乘法。

乔爱丝老师：你们需要重新审视自己的问题，你们虽然有很好的减法，但没有使用乘法的概念。

平原组学生3：你是想让我们重新开始。

乔爱丝老师：我不认为你们应该重新开始。让我们将草稿的题目作些改动吧。

平原组学生：……（平原组的学生似乎有点困惑）

乔爱丝老师：你们有几次课间休息？（启发学生）

平原组学生：3次。

乔爱丝老师：那么共有几分钟课间休息时间呢？

平原组学生1：共有45分钟课间休息时间。（显然他们受到了启发）

在乔爱丝老师的启发下，各个小组都有了基本的思路。他们认真讨论，乔爱丝老师不停地在不同的小组里巡回，回答学生的问题，用问问题的方式指出学生的不足，引导学生建构数学思想，解決数学问题。等到她判定每一个小组都基本完成他们的任务时，她再次走向每一个小组去检查他们学习的情况。

她走到草地小组检查他们的进展：“你们完成了么？请读给我听。”草地小组全组共同朗读他们的问题：

医院里护士的监护房有16个小婴儿，如果这样的护士的监护房有10个，那么，医院里总共有多少个小婴儿？

乔爱丝老师看来对这个组的应用题还比较满意，除了帮助他们改正个别语法错误外，对数学的语句未作改动。

乔爱丝老师重新走到河流小组去检查他们的进展。在看了学生的草稿后，乔爱丝老师指出个别语法和用词不当，但表扬他们的问题很有意义，因为他们的问题不仅包含了乘法，而且还包含了加法。

乔爱丝老师走到南极小组，此时这个组不但写出了应用题，而且这个应用题还多了一些故事：

教室里有5个小旗杆，每个旗杆有2英尺高。有一个小旗杆被偷了，那么现在教室里的旗杆总共有多少尺高？

乔爱丝老师再次走到北极小组检查一下他们的进展。他们的应用题是：

教室里有20个小花盆，这些小花盆由每个小组的学生制作。每个小组有4个学生，班里共有几个小组？（显然这是一道除法应用题）

乔爱丝老师：你们其实在做除法，这没有太大的问题，因为除法是乘法的逆运算。

平原组的应用题是：

我们学校共有3次课间休息的时间。每次课间休息的时间是15分钟，我们一共有多少休息时间？（见图2）

这一场计划15分钟的数学建构实际进行了25分钟。当所有小组都建构完毕，乔爱丝老师依据轮流的规则让平原组的小教授们先上讲台来阐述他们的数学应用题，并带领全班一起来解决这个数学问题，此时4名平原组的小学生成了小数学教授，乔爱丝老师不时地称呼他们为教授。