利用一元二次方程解图形问题

2008-09-27 09:18许广跃
中学生数理化·中考版 2008年7期
关键词:符合条件平分过点

许广跃

一元二次方程的知识不仅可以用来解决实际问题,在解决许多几何图形问题时,若能运用所学知识,构造一元二次方程求解,也能起到避繁就简的作用.现举例说明.

一、用于判断三角形的形状

例1 已知a,b,c是△ABC的三条边,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断三角形的形状.

解:将a2+b2+c2=ab+bc+ca整理为主元为a的一元二次方程,得a2-(b+c)a+b2-bc+c2=0.

这个方程必有实数根,故Δ=(b+c)2-4(b2-bc+c2)=-3(b-c)2≥0.

∴(b-c)2≤0,又(b-c)2≥0,故b-c=0,即b=c.

把b=c代入原方程,得a2-2ac+c2=0.

∴(a-c)2=0,得a=c.

故a=b=c,即△ABC为等边三角形.

二、方案设计问题

例2 将一块长18 m、宽15 m的矩形荒地修建成一个花园,道路或四角活动地(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1 m)

(1) 设计方案1:如图1,花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

(2) 设计方案2:如图2,花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都符合条件?若符合,请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径;若不符合条件,请说明理由.

解:(1) 符合条件.设小路宽为x m.

可列方程18x+16x-x2= ×18×15.整理,得x2-34x+180=0.

解这个方程,得x= ,取x≈6.6.即路宽6.6 m.

(2)符合条件.设扇形半径为r m,则3.14r2= ×18×15,即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半径为7.6 m.

三、动态几何问题

例3 如图3所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.

(1) 如果P,Q同时出发,几秒钟后,可以使得△PCQ的面积为8 cm2?

(2) 点P,Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半?若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.

解:因为∠C=90°,所以AB= = =10 (cm).

(1) 设x s后,可使△PCQ的面积为8 cm2.

所以AP=x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm.

根据题意,得 (6-x)•2x=8.

整理,得x2-6x+8=0.解这个方程,得x1=2,x2=4.

所以P,Q同时出发,移动2 s和4 s时△PCQ的面积为8 cm2.

(2)设点P移动x s时,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

根据题意,得 (6-x)•2x= × ×6×8.整理,得x2-6x+12=0.

由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.

四、平分几何图形的周长与面积问题

例4 如图4,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,点E在下底边BC上,点F在腰AB上.

(1) 若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积.

(2) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.

(3) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.

分析: 为了能正确求得图形的面积,不妨过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.这样,由三角形的面积公式即可列出含x的代数式.

解:(1) 由已知条件,可得梯形周长为24,高为4,面积为28.

过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.

由 = ,可得FG= ×4.

所以S△BEF = BE•FG=- x2+ x(7≤x≤10).

(2) 存在.由(1)得- x2+ x=14.解这个方程,得x1=7,x2=5(舍去).

当BE=7时,FG= ×4=4,BF+BE=12.

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7.

(3) 不存在.假设存在,应该有S△BEF ∶S多边形AFECD=1∶2和(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2同时成立.

由面积比例式,得- x2+ x= .整理,得3x2-36x+70=0.

由周长比例式,得BF+x= ×24=8.可知3≤x<8.

而方程3x2-36x+70=0的根不在这个范围内,所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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