运用辩证思维探求解题捷径

■江思容

运用辩证思维探求解题捷径

■江思容

所谓辩证思维，就是用运动的、联系的、对立统一的观点和方法来思考、研究问题，揭示事物的本质的思维方法。解题是数学学习的基本活动。题目千变万化，已知和未知之间充满矛盾的对立统一，在指导学生研究数学问题时，教师要积极引导他们运用联系转化观、对立统一观、运动变化观来分析问题、探求问题解决的最佳途径，这将有利于对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生辩证思维能力。本文从以下八个方面谈谈作法，以期抛砖引玉。

一、一般与特殊

有些数学命题条件与结论之间的联系，不很明显，而其结论又是反映一般的情形，直接寻找解题途径较为困难。在这种情况下，不妨先将问题的一般性转化为问题的特殊性来考虑。这种探索一般性的结论的方法，有助于我们从特殊性认识普遍性。

例1，方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0对任何实数m都有一个共同的实数解，试求这个实数解。

解：∵m为任意实数，不妨取m=-1和m=0两种特殊情形。

(1)将m=-1代入原方程有2x2-18=0，解这个方程得x=±3；

(2)将m=0代入原方程有x4-3x3=0，解这个方程得x=0或3。

而这两个方程只有公共解x=3，因此方程的实数根是x=3。

二、相等与不等

辩证唯物主义观点认为，矛盾的双方是可以互相转化的，所以我们可用“不等”的方法来解决“相等”的问题，从而让“不等”向“相等”转化。

例2，已知a，b，c为整数，且a2+b2+ c2+49≤4a+6b+12c，求的值。

解：∵a、b、c为整数，由已知条件的不等式有：a2+b2+c2+49≤4a+6b+12c。

三、正面与反面

一般来讲，从正面解题，是常见的有效的方法，但有时从正面出发思路却受阻，不知所措，这时若从反面着手常常能化难为易，迎刃而解。

例3，设三个二次方程

x2+4mx+4m2+2m+3=0，

x2+(2m+1)x+m2=0，

(m-1)x2+2mx+m-1=0，

它们中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是（）

解：此题分以下两种情况考虑——

(1)当m=1时，方程(m-1)x2+2mx+m -1=0化为一次方程2x=0，它有一个实数根x=0，故m=1符合题意。

(2)当m≠1时，所给方程均为一元二次方程，若从正面考虑，“至少有一个方程有实根”，需分“一个方程有实根”、“两个方程有实根”、“三个方程有实根”一一进行讨论，共需列七个不等式(组)，运算相当繁杂。若转化到问题的反面，先求三个二次方程都无实根时m的取值范围，然后从m≠1的实数中排除它即为所求。

且m≠1，故选(B)

四、运动与静止

当题目中变量较多或不确定因素较多时，全面考虑难度较大，为此可“动”中求“静”，而有时，要反其道而行之。

例4，如图1，边长为a的等边△ABC的二顶点A、B，分别在x轴和y轴上运动，试求动点C到原点O的距离的最大值和最小值。

解析：由于求动点C到原点O的距离的最大值比较困难，根据相对运动原理，可以考虑把定点O转化为动点，把动点C转化为定点，让坐标轴运动，由于∠xOy=90°，原点O就在以AB为直径的圆上运动，当AO=BO时，CO最大，CE最小。

五、熟悉与陌生

熟悉与陌生是一对矛盾，把比较生疏的问题转化为熟悉的问题，以充分利用已有的知识和经验，使问题得以解决，这是解题化归思想中一个重要原则。

例5，若(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0，求证：2a=b+c

证明：∵条件等式类似于一元二次方程判别式，于是可构造熟悉的一元二次方程即(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0，

∵(a-b)+(b-c)+(c-a)=0及△=0知x1=x2=1，

六、隐含与明显

在数学解题中，常把题中的隐含条件转化为显现的条件，增加问题的透明度。

解析：本题若直接代换计算，则相当麻烦，仔细观察，不难发现其隐含条件是x-y=1，这样就增加了问题的透明度。

于是，原式=(x-y)(x2+xy+y2)-3xy= (x-y)2=1

七、无限与有限

数学中涉及无限多情形的问题，常因难以统一处理而成难题，但有些可通过适当处理，转化为有限的问题来解决。

例7．求证：等式

证明：设左边=x，两边平方后有2+2x=x2，解之得x1=2，x2=-1(不合题意舍去)，再设右边=y，两边平方后有2y=y2，解之得y1=2，y2=0(舍去)

∴x=y=2。

故原命题成立。

八、前进与后退

解决一个特殊数学问题时，往往可先将这个问题作一般化的探讨，推进到一般的情形，通过对一般问题的解决，再返回来解决原来的问题，以达到最终解决问题的目的。

例8，如图2，AD是△ABC的中线，AD上一点E，过E的直线交AB于 F、AC于G。求证：。

综上所述，引导学生用辩证的观点去观察问题、解决问题，努力促进学生掌握辩证思维这个锐利武器，将能大大提高学生的思维能力和解题能力。

武汉市洪山区教育研究培训中心）

责任编辑 王爱民