质量成本与质量水平关系及其模型研究

尚珊珊，尤建新

（同济大学 经济与管理学院，上海 200092）

0 引言

质量成本由预防成本、鉴定成本以及损失成本组成，即PAF模型。质量成本花费的多少一定程度上可以反映出质量水平的高低，因此了解质量成本与质量水平间的关系，有利于为决策者提供决策建议，方便决策者做出正确的结论。质量成本与质量水平间的关系主要有以下三种模型如图1,2,3所示。

图1 Feigenbaum质量模型图

图2 Juran质量成本模型图

1 质量成本与质量水平的理论关系分析

表1 σ与质量改进效率

图3 新最佳质量成本模型

质量水平，即质量一致性，通常用合格率来表示。这里采用6σ管理中的σ水平来衡量。σ水平反映了质量改进获得实际结果与其目标之间的差距或偏离程度。σ越大说明偏离或波动程度越大，质量改进的效果越差，而σ越小，则表明质量改进的效果越好，因此，质量改进的效率可用不同的σ水平来描述。分别用缺陷率或合格率作为质量改进效率的衡量标准，σ水平与其之间的关系如表1所示，其中DPMPO为每万次机会的缺陷数

从图2,3可以看出Feigenbaum与Juran的质量模型的思想是一致的，只是Feigenbaum更进一步细化了图形。

1.1 基于指数函数模型的最佳质量成本水平

用负指数函数表示质量损失成本,式(1)所示;用指数函数表示质量保证成本,式(2)所示。

所以,质量成本数学模型为：

式中:a1—控制废次品趋于0时,所发生的最小次品损失费用;

b1—追加成本费用的增长率,即指数函数的斜参数;

a2—控制合格率趋于100%(废次品趋于0)时,生的最大成本费用;

b2—控制成本费用的增长率,即指数函数的斜参数;

Q—产品合格率。

从式（4）可以计算出最佳质量水平时的合格率，然后可以根据表可以得出最佳σ水平。

1.2 基于田口模型的最佳质量成本水平

根据田口玄一的质量成本模型：

质量损失函数 L(λ)=a1+b1(λ-1)2

质量保证成本函数 C(λ)=a2λb2

所以,质量成本数学模型为：

式中:λ是质量水平即产品的合格率;a1是企业的全部产品达到完全合格时仍造成的损失 (如能源消耗污染等),a1的值可根据企业近5年来在治理污染噪音等方面投资的加权平均值求得;b1=L″(1)/2;a2={A[α/(α+β)]α·[β/(α+β)]β}-1/(α+β);b2=1/(α+β)

1.3 基于K.K.Govil模型的最佳质量水平

利用K.K.Govil函数表达质量成本数学模型，式 (5)所示。通过对(5)式的微分、回归分析,确定具体质量成本模型的K,F,G,R值,通过层次分析法(AHP),使质量水平和质量成本处于理想控制状态。

设K为每件废品造成的损失,Q为合格率,(1-Q)为不合格率。则每件合格品负担的损失费用是C1=K[Q/(1-Q)]R。每件产品的预防检验费用C2=F[(1-Q)/Q]G,F是C2随不合格率与合格率的比值而变化的系数。

式中:K、F、R、G＞0 且为常数。

最佳质量水平:Q=1/[1+(KR/FG)]1/(R-G)

由于近年来随着质量水平的提升，质量合格率的增高，质量成本预防成本、鉴定成本、损失成本以及总成本都会随之变化，总质量成本随着质量水平的提高而降低，损失成本随着质量成本的提高而降低。如图4所示：选择。首先可以根据不多的质量成本与质量水平历史数据，分析它们之间的灰色关联度，从而可以根据灰色关联度大概判断质量成本与质量水平间的关系。

首先，收集质量成本以及质量水平历史数据，并根据历史数据作出他们的曲线图，从曲线图中先直观的查看它们之间的关系，例如：

质量成本的历史数据序列为：C=（1.8，1.5，1.4，1.2，1，0.8），质量水平的历史数据序列为：P=（0.8，0.83，0.87，0.9，0.94，0.96）

图4 不同质量水平下的总质量成本

图5 质量成本与质量水平曲线图

从图5中，可以初步判断质量成本与质量水平存在负相关关系，随着质量水平的提高，质量成本是逐渐降低的。

然后，我们可以根据灰色相关理论根据历史数据具体计算出质量成本与质量水平间的灰色关联度。

定义 1 设 Xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n））为因素 Xi的行为序列，D1为行为序列算子且：

则称D1为初值化算子，XiD1为Xi在初值化算子D1下的像，简称初值像。

定义 2 设 Xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n））为因素 Xi的行为序列，D2为行为序列算子且：

2 质量成本与质量水平的灰色相关关系分析

根据以上讨论，可以看出，在理论情况下我们可以采用不同的质量成本模型从而计算出最佳的质量水平，但是实际应用当中，完全依据理论上的模型很难计算出。而且，实际过程中经常没有非常多的质量成本和质量水平数据用以做一般的数据统计分析，因此，采用灰色系统进行分析是不错的

则称D2为均值化算子，XiD1为Xi在均值化算子D2下的像，简称均值像。

初值化算子D1和均值化算子D2皆可使系统行为序列无量纲化，且在数量上归一，在进行系统分析时，可根据情况选用一种。

定义 3 设 X0=（x0（1），x0(2)，…，x0（n））为系统行为特征序列且：

为相关因素序列。给定实数γ(x0(k),xi(k))，若实数：

满足：

则称 γ(X0,Xi)为 Xi与 X0的灰色关联度，γ(x0(k),xi(k))为 Xi与X0在k点的关联系数，并称条件(1)～(4)为灰色关联四公理。

因此，根据以上定理可以计算质量成本和质量水平间的灰色相关系数，其步骤如下：

第一步，收集质量成本及质量水平历史数据，设质量成本和质量水平每组各共n个历史数据，令质量成本、质量水平的序列为X0，X1，求这两个序列的初值像或均值像Xi’（i=0，1），即：

第二步，求差序列。记：

第三步，求两级最大差和最小差。记为：

第四步，求质量成本和质量水平各元素间的关联系数：

第五步，计算质量成本和质量水平整体间的关联度：

3 质量成本与质量水平的灰色线性回归组合模型建立

为进一步研究质量成本与质量水平间的关系，我们可以建立质量成本与质量水平间关系的研究模型，可以看出，质量成本与质量水平间不仅存在指数关系，而且也存在先行关系，因此，采用灰色线性回归模型可以改善原线性回归模型中没有指数增长趋势和灰色GM（1，1）模型中没有线性因素的不足，因此该组合模型更适合于既有先行趋势又有指数增长趋势的序列。

以往的质量成本与质量水平的研究中往往采用的是指数模型，而忽略掉线性关系部分，因此，这次我们采用灰色线性回归模型，从而可以考虑到指数模型与线性模型两部分。

设质量成本序列为X(0)

对X(0)进行一次累加省内成处理，得到生成序列为：

由 GM（1，1）可得到：

其形式可记为：

对于质量成本与质量水平间的关系模型，采用线性回归Y=aX+b及指数方程Y=a·exp(X)的和来拟合累加生成序列，其中，v，C1，2 为参数。

现在需要确定v，C1，C2参数的值。为了确定参数值，首先设参数序列：

利用最小二乘法可求得C1，C2，C3的估计值。令：

这样根据数据历史值可以生成质量成本与质量水平间的关系模型为：

从式(14)可以看出，如果C1等于0，则一次累加生成序列为线性回归模型，如果C2等于0，则累加生成的序列为GM(1，1)模型。该模型使线性回归模型中不含指数增长趋势及GM(1，1)模型中不含线性因素的情形有所改善。

4 结论

如今越来越多的企业关注质量成本，而质量成本与质量水平有着密切的关系，以往的理论中往往只是对质量成本与质量水平间的理论研究，而并没有切实考虑到实际应用当中所遇到的种种问题，因此本文在考虑实践中历史数据经常不会足够多，所以采用了利用灰色系统理论来分析质量成本与质量水平间的关系。而且，通常以往文献中的质量成本模型的理论研究中往往只考虑到指数部分的影响，本文则采用了灰色系统与线性回归相结合的组合模型方式来建立质量成本与质量水平的关系模型，从而能够有效改善以往系统中没有考虑到线性部分，建立更为切实准确的模型。

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