块H－矩阵新的简洁判据

李艳艳，高美平

(文山学院数理系，云南文山663000)

1 预备知识

设 Cn×n(Rn×n)分别是复(实)矩阵的集合，

其中Aii为ri阶方阵，1≤i≤k，且非奇异。在实际问题中Aii是稀疏的且很多是零矩阵。

引理1［1］设n阶方阵A≥0，如果存在一个置换矩阵P∈Rn×n，使得其中B和D分别是k，l阶方阵，k≥1，l≥1，则称A是可约矩阵，否则称A是不可约矩阵。

定义1［1］常用的三种诱导矩阵范数:1－范数:(列和范数，A的每一列元素绝对值之和的最大值)。2－范数:‖A‖2=σ1，其中σ1是A的最大奇异值，即A*A的最大特征值的非负平方根。∞ －范数(行和范数，A的每一行元素绝对值之和的最大值)。

定义2［1］设B=(bij)=(‖Aij‖)k×k不可约，则称A为块不可约，这里‖·‖是诱导矩阵范数。

定义3［1］若。则称A为块对角占优矩阵记为A∈BD;若都是严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵记为A∈BSD。

定义 4［1］若存在 x=(x1，x2，…，xk)T＞ 0，使得，则称 A 为块H－矩阵，记为A∈BH。

显然，若N1=Ø，则A∈BD，即A是块H－矩阵，由文献［2］知，块H－矩阵至少有一行严格对角占优，即N2≠Ø，所以常常假定N1，N2都非空。

块H－矩阵在数值分析，数学物理和控制论等领域中有着广泛的应用，但是如何实际判定一个矩阵是块H－矩阵确是十分困难的。本文给出一个新的简洁判据，并应用于判定矩阵的正稳定性和亚正定性。

2 块H－矩阵的新的判据

定理1 设A=(aij)有形如(1)的分块，若

则A是块H－矩阵。

因为ε≠∞，则xi≠∞，即X是正对角矩阵，设D=(dij)=CX，即dij=xjcij，∀i，j∈K，下面证明D∈BH。

∀i∈ N1: 如果则‖Ait‖ =0，由(2)知

因为ε＞0，则

由(5)式知，∀j∈N2，

3 应用

由上述结论，我们容易得到关于矩阵正稳定性和亚稳定性的判别条件。

矩阵A=(aij)∈Cn×n的特征值记作λ(A)，Reλ(A)表示λ(A)的实部。

引理1［2］设A=(aij)∈Mn(C)形如(1)式，且K={1，2，…，k}，K=N1+N2，且N1∩N2= Ø ，若i∈N1时，Aii为Hermite正定矩阵，i∈N2时，若Aii为非奇异M －矩阵，则矩阵范数取Frobenius范数，当A为块H－矩阵时，则A为正稳定阵，即Reλ(A)＞0。

由引理1直接得

定理2 设A=(aij)∈Mn(C)形如(1)式，且K={1，2，…，k}，K=N1+N2，且N1∩N2=Ø，若i∈N1时，Aii为Hermite正定矩阵，i∈N2时，Aii为非奇异M －矩阵，矩阵范数取Frobenius范数，当A满足定理1条件时，A为正稳定阵。

推论1 设A∈Zn×n，若A满足定理2的条件，则A为非奇异M －矩阵。

推论2 设A为Frobenius阵，若A满足定理1条件，则A为Hermite正矩阵。

定理3 设A=(aij)∈Mn(C)形如(1)式，若以代替A，满足定理2的条件，aii中有p个实部为正，q个实部为负，p+q=n，则A正好有p个特征值实部为正，q个特征值实部为负。

［1］ 黄庭祝，杨传胜.特殊矩阵分析及应用［M］．科学出版社，2006:89－95．

［2］ Pang M X，Mao G P.Generalizations of Diagonal Do minance for Matrices and Its Applications［J］．J of Math.Research Exposition，1991，(4):507 －509.

［3］ 高中喜，黄庭祝，刘福体.块H－矩阵的简洁判据［J］．工程数学学报，2004，(3):340－344.