两种边界条件下非饱和土一维固结特性分析

秦爱芳， 阳柳平， 孙德安， 羌 锐

(上海大学土木工程系，上海200072)

非饱和土广泛存在于大自然中，与土木工程的建设有着紧密联系.近年来，无论是非饱和土的基础理论研究还是工程应用都日益受到人们重视.国内外学者致力于非饱和土力学的研究，建立了诸多非饱和土固结理论.国外从20世纪60年代开始研究非饱和土固结问题，典型的有 Blight［1］，Scott［2］，Barden［3］以及Fredlund等［4-5］提出的固结方程.20世纪90年代非饱和土固结问题已成为中国国内非饱和土力学研究的热点，杨代泉［6］、陈正汉［7-8］、沈珠江［9］以及殷宗泽［10］等曾先后研究了非饱和土的固结理论，并提出了各自的见解.在非饱和土固结理论中，比较完善并具有权威性的是Fredlund［4-5］固结理论.

秦爱芳等［11］在Fredlund固结理论的基础上进行了假定，对表面排水排气且底面不渗透边界条件下的非饱和土一维固结，进行了解析解的求解.对于简单的逆变换问题，可直接进行Laplace逆变换得到解析解;而对于大部分荷载及边界条件，Laplace变换下解的表达式极其复杂，难以直接进行Laplace逆变换，需要通过数值方法进行Laplace逆变换.本研究对表面排气不排水、底面不渗透及表面排水不排气、底面不渗透两种常用边界条件，利用文献［11］的方法得到了Laplace变换下的超孔隙气、超孔隙水及土层沉降的解，采用简单、有效的Crump方法进行逆变换得到半解析解，并作出相应的固结特性分析.该研究方法可向多种荷载及多种边界条件进行拓展，并对非饱和土体一维固结的研究具有一定的参考价值.

1 非饱和土的一维固结半解析解

1.1 本研究对Fredlund固结方程的简化假定

(1)假定Fredlund一维固结基本控制方程中液相及气相的渗透系数为常数;

(2)假定固结过程中发生的应变为小应变;

(3)假定因外荷载引起的超孔隙气压远小于大气压值.

1.2 表面状态向量 (0，s)与任意深度处状态向量(z，s)间的传递关系

表面排气不排水、底面不渗透的非饱和土层模型如图1所示，其中土层厚度为H，地表作用有瞬时均布荷载q，坐标原点设在地表，深度方向z坐标以向下为正.取底面面积为1、高度为dz的单元体V0= 1×1×dz为研究对象.

图1 表面为排气不排水、底面为不渗透的非饱和土层固结计算模型Fig.1 Simplified model for one-dimensional consolidation in unsaturated soil which the surface is air infiltration water impermeable and the underside is impermeable

对Fredlund非饱和土的一维线性固结方程进行简化得到的液相及气相的控制方程，结合Darcy定律及Fick定律，得到一组编微分方程组.经Laplace变换及Cayley-Hamilton数学方法构造的顶面状态向量(0，s)与任意深度处状态向量(z，s)间的传递关系［11］如下：

即

式中，T11～T44，S1～S4同文献［11］.

1.3 边界和初始条件

以下列两种边界条件为例.

边界条件1：表面排气不排水、底面不渗透，

边界条件2：表面排水不排气、底面不渗透，

边界条件1和边界条件2的初始条件为

1.4 Laplace变换下的解(z，s)

边界条件1：

边界条件2：

2 Laplace逆变换的处理及算例分析

本研究采用精度较高的Crump方法［12］编制程序实现Laplace逆变换，得到时间域内的超孔隙水压力、超孔隙气压力和土层沉降的半解析解.

算例引用文献［13-14］算例中的基本参数，采用本研究得到的半解析解计算表面排气不排水、底面不渗透及表面排水不排气、底面不渗透边界条件下非饱和土层固结时的超孔隙气、超孔隙水压力的消散，并对其固结特性进行了分析，并将结果与采用Fredlund提出的有限差分法得到的超孔隙气、超孔隙水压力计算结果进行比较，以证明本研究半解析法的正确性与精确性.

2.1 算例

一个水平向无限的10 m厚非饱和土层，表面瞬时施加均匀无限荷载q=100 kPa，荷载作用下引起土中初始的超孔隙气压力为=20.0 kPa，超孔隙水压力为=40.0 kPa，其他主要土层参数如下：，水的渗透系数为kw=1.0×

2.2 边界条件1情况下的固结分析

(1)图2所示为z=8 m时，不同ka/kw下超孔隙气压力消散的ua/q值，图3所示为同边界条件下的ua/值.结果显示，边界条件1下超孔隙气压的消散，与表面排水排气且底面不渗透边界条件下［11］超孔隙气压的消散完全相同，也就是说，当表面排气时，表面排水或不排水对超孔隙气压的消散不产生影响.

(2)图4所示为z=8 m时不同ka/kw下超孔隙水压力消散的uw/q值.与表面排水排气且底面不渗透边界条件［11］比较，2种情况下超孔隙水消散在超孔隙气消散结束之前是相同的.由于表面不排水且底面不渗透，所以排气结束后，uw/q恒定为某一值.

图2 不同ka/kw条件下土中超孔隙气压力ua/q随时间因素T的变化规律(z=8 m)Fig.2 Change in excess pore gas pressure ua/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

图3 不同z/H土中超孔隙气压力ua/u0a随时间因素的变化规律Fig.3 Change in excess pore gas pressure ua/at different depths(z/H)with T

图4 不同ka/kw条件下土中超孔隙水压力uw/q随时间因素的变化规律(z=8 m)Fig.4 Change in excess pore water pressure uw/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

(3)图5为不同z/H情况和不同ka/kw情况下uw/随时间的变化曲线.在超孔隙气完全消散之前，其与表面排水排气且底面不渗透边界条件下［11］超孔隙水压的消散是完全相同的;当超孔隙气完全消散后，超孔隙水在一平缓段后将有微小的调整阶段，最后趋于平衡.ka/kw越大，调整之前的平缓段越长，这与单面排水排气情况下［11］的平缓段规律相同.

(4)图6为ka/kw=10，ka/kw=1超孔隙气压力消散随深度的变化曲线.二者消散规律一致，只是在ka/kw=10情况下的消散速度快于ka/kw=1情况.

(5)图7为ka/kw=10，ka/kw=1时超孔隙水压力消散随深度的变化曲线，二者消散的规律基本也是一致的.ka/kw=10比ka/kw=1消散得快，且ka/ kw=1在孔隙气消散完后，马上进行调整，且在接近排水排气面时调整明显;ka/kw=10时，孔隙气消散后也有调整，只是稍后一些.

2.3 边界条件2情况下的固结分析

(1)图8(a)为z=8 m时，不同ka/kw情况下ua/q随时间的变化曲线.可以看到：超孔隙水压力开始消散之前，ka/kw大小对超孔隙气消散有极微小的影响;当超孔隙水压力开始消散时，超孔隙气压力消散趋于一致;由于表面不排气、底面不渗透，当超孔隙水消散结束后，超孔隙气消散停止;该边界条件下ka/kw大小对超孔隙气压力消散几乎没有影响.

图5 不同z/H处土中超孔隙水压力uw/随时间因素的变化规律Fig.5 Change in excess pore water pressure uw/at different depths(z/H)with T

图6 超孔隙气压力ua/随深度消散规律Fig.6 Change in excess pore air pressure ua/with depth

图7 超孔隙水压力uw随深度消散规律Fig.7 Change in excess pore water pressure uw/ with depth

图8 不同ka/kw情况下ua/q和uw/q随时间因素T的变化规律(z=8 m)Fig.8 Change in excess pore pressure ua/q and uw/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

(2)图8(b)为z=8 m时，不同ka/kw情况下uw/q随时间的变化规律.可以看出，该边界条件下，ka/kw大小对超孔隙水的消散也没有影响.

(3)图9为ka/kw=10时，z/H大小对超孔隙气、超孔隙水压力消散的影响，超孔隙气不同深度消散是相同的.对于超孔隙水压力，越接近表面消散开始得越早.

图9 不同z/H处土中ua/和uw/随时间因素T的变化规律(ka/kw=10)Fig.9 Change in excess pore pressure ua/and uw/ at different depths(z/H)with T(ka/kw=10)

3 结论

(1)本研究采用半解析方法，获得了表面排气不排水、底面不渗透情况及表面排水不排气、底面不渗透情况下非饱和土层在瞬时均布加荷情况下的一维压缩固结的半解析解.

(2)表面排气不排水、底面不渗透时，超孔隙水压力的消散在超孔隙气压消散结束之前与表面排水排气且底面不渗透边界条件下是相同的.由于表面不排水且底面不渗透，当超孔隙气压力消散结束后，超孔隙水压力不再消散，uw/q恒定为某一值.

(3)表面排水不排气、底面不渗透时，超孔隙气压力随超孔隙水压力消散而消散，随孔隙水压力消散结束而结束;由于不排气，ka/kw大小对超孔隙水、超孔隙气消散不产生影响.

［1］ BLIGHTG E.Strength and consolidation characteristics of compacted soils［D］.London：University of London，1961.

［2］ SCOTTR F.Principlesofsoilmechanics［M］.Glenview：Addison Wesley Publishing Company，1963.

［3］ BARDENL.Consolidation of compacted and unsaturated clays［J］.Geotechnique，1965，15(3)：267-286.

［4］ FREDLUND D G，HASAN JU.One-dimensional consolidation theory unsaturated soils［J］.Canadian Geotechnical Journal，1979，17(3)：521-531.

［5］ FREDLUNDD G，RAHARDJOH.非饱合土土力学［M］.陈仲颐，张在明，陈愈烔，等译.北京：中国建工出版社，1997.

［6］ 杨代泉.非饱和土广义固结理论及其数值模拟与试验研究［D］.南京：南京水科院，1990.

［7］ 陈正汉.非饱和土固结的混合物理论(Ⅱ)［J］.应用数学和力学，1993，14(8)：687-698.

［8］ 陈正汉.非饱和土固结的混合物理论(Ⅰ)［J］.应用数学和力学，1993，14(2)：127-137.

［9］ 沈珠江.非饱和土简化固结理论及其应用［J］.水利水运工程学报，2003(4)：1-6.

［10］ 殷宗泽.土工原理［M］.北京：中国水利水电出版社，2007：350-364.

［11］ 秦爱芳，陈光敬，谈永卫，等.非饱和土层一维固结问题的解析解［J］.应用数学和力学，2008，29(10)：1208-1218.

［12］ CRUMPK S.Numerical inversion of Laplace transform using a Fourier series approximation［J］.ACM，1976，23：89-96.

［13］ FREDLUND D G， HASAN JU. One-dimensional consolidation theory：unsaturated soils［J］.Canadian Geotechnical Journal，1979，16：521-531.

［14］ CONTEE.Consolidation analysis for unsaturated soils［J］.Canadian Geotechnical Journal，2004，41：599-612.