用扩展有限元法分析沥青路面表面裂纹二维扩展

张震韬， 李芳武， 杨 擎， 苗 雨

(1．呼和浩特市公路工程质量监督站，内蒙古 呼和浩特 010037;2．华中科技大学 土木工程与力学学院，湖北 武汉 430074)

沥青路面结构出现裂缝所导致的早期破坏已成为一个普遍性问题。裂纹扩展过程的模拟分析对路面使用寿命与强度评定具有重要的理论指导价值和工程意义。目前应用于裂纹分析的数值方法，以传统的有限元法(FEM)为主。然而，该方法存在两个很大的弊端:(1)网格重构，即裂纹每扩展一步，有限元网格就需要重新划分，极大地提高了计算量;(2)在FEM中，裂纹只能沿着单元的边界开裂，这将严重影响计算精度。

1999年，美国西北大学Belytschko教授提出了一种全新的独立于网格的裂纹分析数值方法——扩展有限元法 (XFEM)［1，2］，并且在随后的时间里不断完善。现在，XFEM已经成为裂纹扩展分析领域中最有前景的方法。在XFEM中，裂纹完全独立于有限元网格，可以从单元内部开裂，因此裂纹的扩展过程完全无需考虑其形状和走向，可以实现裂纹的全自动扩展模拟。目前，扩展有限元法已经被成功应用到很多问题的求解当中［3，4］。

本文将扩展有限元技术与断裂力学理论相结合，对沥青路面表面裂纹进行扩展模拟，为扩展有限元法在沥青路面裂纹分析中的进一步应用奠定基础。

1 扩展有限元法

扩展有限元法的思想在于将待求解问题分为两个独立的部分［5］:问题域的有限元网格(不包括裂纹)和改进函数(用于模拟裂纹或者其它不连续部分)。扩展有限元法的基本思路如下:

假设点x∈Rd(d=1～3)位于单元e内。设结点集合 N={n1，n2，…，nm}，其中m 是单元 e的结点数。(对于线性一维单元，m=2;常应变单元，m=3;三维六面体单元，m=8。)则改进之后的位移近似函数可以写成下面的形式:

其中结点集合Ng的定义如下，

在式(2)中，ωJ=supp(nJ)是结点型函数φJ(x)的支集，即以nJ为顶点的所有单元的并集;Ωg是与裂纹相关的区域;函数ψ(x)的选择取决于问题内部不连续的形式。

2 裂纹模拟

基于单位分解法的思想，XFEM通过改进经典有限元的位移近似，在裂纹面和裂尖所在的单元结点处增加附加自由度，以考虑裂纹的存在［6，7］。以单个二维裂纹为例(图 1)，令 ΓC为裂纹表面，ΛC为裂纹尖端，裂纹轮廓为¯ΓC=ΓC∪ΛC，则位移近似函数可以写成如下形式

图1 裂纹存在时需增加改进自由度的结点集Nf和Nc

其中 uI是结点位移向量的连续部分，aJ是与Heaviside函数相关的结点改进自由度，bIK是与弹性渐近裂尖函数有关的结点改进自由度。Nc是被裂纹面ΓC切割的单元内结点的集合，Nf是裂尖ΛC所在单元内结点的集合:

另外，对于裂纹问题还涉及两个改进函数:

(1)广义Heaviside函数H(x):对于裂纹表面，在裂纹的上方H(x)取1，在裂纹下方H(x)取－ 1［8］，即

其中，x是所考察的点，x*是离x最近的裂纹面上的点，同时n是x*处裂纹的单位外法向量。

(2)裂尖函数ψI:为了模拟裂纹尖端，提高裂尖场的计算精度，裂尖函数应包含二维渐近裂尖位移场的径向和环向性态。对于各向同性弹性体，裂尖函数可以取为［9］

其中，r和θ为局部裂尖场坐标系中的极坐标。

从上面可以看出，在XFEM中裂纹是完全独立于有限元网格存在的，在进行裂纹分析时不需要进行网格重构，因此计算效率将会大大提高。此外，裂纹的扩展路径不会受到网格结构的影响。

3 数值算例

存在表面裂纹的路面结构在载荷的作用下主要表现为复合型裂纹(Ⅰ+Ⅱ型)。线弹性断裂力学中关于复合型裂纹扩展的断裂理论主要有［10］:(1)最大周向拉应力理论;(2)最小应变能密度因子理论;(3)最大能量释放率理论。

本文采用最大周向拉应力理论进行分析，该理论基于以下两个假设:(1)裂纹沿周向拉应力取最大值的方向发展;(2)最大周向拉应力达到临界值时裂纹开始扩展。

Ⅰ－Ⅱ复合型裂纹的断裂准则为:

式中，K*为Ⅰ－Ⅱ复合型应力强度因子，θ0为裂纹扩展角，即裂纹扩展方向与裂纹面之间的夹角。

沿行车方向取一个长为15 m的平面应变模型作为计算模型，如图2所示，表面裂缝长4 cm，位于x=7．5 m处，半刚性基层沥青路面结构各层参数见表1。本文将行车荷载简化成以当量圆形式均匀分布的荷载，当量圆半径为0．15 m，荷载采用标准轴载 BZZ-100，轮胎接地压力取0．7 MPa［10］。

图2 含多裂纹的沥青路面计算模型

表1 路面结构各层参数

计算基本假定:(1)沥青路面结构各层均视为线弹性(裂纹部分除外);(2)道路结构各层间位移连续。

已有的研究表明［12］，沥青路面表面在交通载荷作用下在一定范围内路面表面处于受压应力状态，而在一定范围之外才受拉应力作用，且最大受拉应力的位置与沥青路面结构有关。由于有表面裂纹的存在，在交通荷载作用下裂纹面能自由变形，所以相对未开裂路面来说，交通荷载要离裂纹面相对远一些才能表现为受拉状态。交通荷载距表面裂纹的距离取为1 m。

首先分析荷载位置对表面裂纹扩展的影响，如图3所示。荷载分别作用在距离表面裂纹1 m处的左右两侧，即荷载中心作用点分别位于x=6．5 m处和x=8．5 m处。从图3可以看出表面裂纹的扩展始终偏离荷载位置，大致呈直线形。

然后分析不同沥青面层模量对表面裂纹扩展的影响，如图4、图5所示。

图3 荷载位置对表面裂纹扩展的影响

图4 面层模量对表面裂纹扩展路径的影响

图5 面层模量对表面裂纹等效应力强度因子K*的影响

从图5可以看出，随着面层模量的增加，K*增加，这或许是由于模量的增加导致面层承担的行车荷载更多，使得面层受力更不利所致。图4中，随着面层模量的增加，裂纹扩展过程中水平偏离增大，也就是扩展路径变长。但是由于面层模量的增加，K*也增大，所以，面层模量对表面裂纹扩展寿命的影响需要做进一步的研究才能确定。

4 结论

本文将一种新型的数值方法——扩展有限元法(XFEM)应用于沥青路面多裂纹扩展模拟。通过计算分析，得到一些结论:

(1)在XFEM中，裂纹完全独立于有限元网格，可以从单元内部开裂，因此裂纹的扩展过程完全无需考虑其形状和走向，可以实现裂纹的全自动扩展模拟，是一种高效的数值方法。

(2)表面裂纹的扩展通常是偏离荷载作用位置的，并且大致呈直线型扩展。

(3)面层模量越大，裂纹扩展过程中水平偏离越大，也就是扩展路径越长。但是由于面层模量的增加，K*也增大，所以，面层模量对表面裂纹扩展寿命的影响需要做进一步的研究才能确定。

［1］ Belytschko T，Black T．Elastic crack growth in finite element with minimal remeshing［J］．International Journal for Numerical Method in Engineering，1999，45(5):601-620．

［2］ Moe N，Dolbow J，Belytschko T．A finite element method for crack growth without remeshing［J］．International Journal for Numerical Method in Engineering，1999，46(1):131-150．

［3］ Fries T P，Belytschko T．The extended generalized finite element method:An overview of the method and its applications［J］．International Journal for Numerical Method in Engineering，2010，84:253-304．

［4］ Mohammadi S．Extended Finite Element Method for Fracture Analysis of Structures［M］．Blackwell:Oxford，2008．

［5］ Sukumarr N，Moe N，Moran B，et al．Extended finite element method for three-dimensional crack modeling［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2000，48:1549-1570．

［6］ Melenk J M，Babuska I．The Partition of Unity Finite Element Method:Basic Theory and Applications［R］．Seminar fur Angewandte Mathematik，Eidgenossische Technische Hochschule，Research Report No．96-01，January，CH-8092 Zurich，Switzerland，1996．

［7］ Sukumar N，Prevost J-H．Modeling quasi-static crack growth with the extended finite element method．Part 1:Computer implementation［J］．International Journal of Solids and Structure，2003，40:7513-7537．

［8］ Dolbow J E．An extended finite element method with discontinuous enrichment for applied mechanics［D］．PhD dissertation，Theoretical and Applied Mechanics，Northwestern University，USA，1999．

［9］ Fleming M，Chu Y A，Moran B，et al．Enriched element-free Galerkin methods for crack tip fields［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，1997，40:1483-1504．

［10］ 李 灏．断裂理论基础［M］．成都:四川人民出版社，1983．

［11］ JTG D50-2006，公路沥青设计规范［S］．

［12］ Myers L A，Roque R，Birgisson B．Propagation mechanisms for surface-initiated longitudinal wheel path cracks［J］．Transportation Research Record:Journal of the Transportation Research Board，2001，1778:113-122．