基于最大似然算法的OFDM频偏估计研究

赵 黎，张 燕，石介沛，祝 捷

（1.西安工业大学 电子信息工程学院，陕西 西安 710032；2.陕西工业职业技术学院 电气工程系，陕西 咸阳 712000；3.兰州军区 68026部队，甘肃 兰州 730000）

OFDM系统相对于单载波系统而言，具有频谱利用率高、抗干扰能力强的优点，但是由于OFDM系统采用多个频谱互相混叠的正交子载波进行调制，因此其对同步误差比单载波系统更加敏感，即OFDM的高频谱利用率和传输可靠性均是以子载波间的正交性为基础的，当接收端与发送端存在频偏时，子载波间的正交性就会遭到破坏，导致严重的子载波间干扰，从而对系统造成非常严重的影响［1］。

为了能够有效地消除符号间干扰，几乎所有OFDM符号都会引入循环前缀［2］。由OFDM符号的结构可以看出，插入循环前缀后，每对间隔为N的样值之间都存在相关性，因此可以利用该相关特性进行载波频率偏差的估计。因此本文利用循环前缀对有用数据重复的帧结构，按照最大似然准则来完成载波频率偏差的估计。

1 载波频偏对OFDM系统的影响

在OFDM系统中，收发端均有各自的本地晶振，由于发射机和接收机晶体振荡器的不同步造成子载波频率发生偏移，OFDM各子载波之间的正交性受到破坏，引起严重的载波间干扰，使解调性能急剧恶化［3-4］。图1给出了载波频偏对OFDM系统影响的示意图，当接收端和发射端采样频率一致，即不存在载波频偏时，如图1(a)所示，各个子载波间就不会存在干扰；如果存在载波频偏，信号的采样点就会出现偏离，采样的幅度下降，子载波之间就会存在相互干扰。假设发射端调制载波与接收端解调载波之间的绝对频偏为，f 为发射端调制载波的频率，为接收端解调载波的频率，T为一个OFDM符号的持续时间。通常载波频偏表示为时域上接收信号的相位旋转，所以当存在频率偏移ε=时，接收到的时域信号为：

图1 载波频偏对OFDM系统影响的示意图Fig1 Influences caused by frequency offset

其中 w（n）表示噪声，ε1为整数频偏，ε2为小数频偏。

上式中第一项为有用信号，Ik为频偏ε引起的载波间干扰ICI：

由式（3）可以发现，当系统仅存在整数倍频偏时，Ik=0，Rk=Sk-ε1Hk-ε1+Wk，即整数倍频偏只会引起接收信号在频域内发生偏移，并不会破坏子载波之间的正交性，频率采样点偏移了ε1个子载波位置，使映射到OFDM频谱内的数据符号循环移位。当系统存在小数频偏时，有用信号的幅度衰减了相位偏移了 πε2（1-1/N），同时子载波的正交性遭到了破坏，引起了ICI，使信噪比降低。

由以上分析可以看出，载波频率偏差的影响主要有两种［5］：1）使系统信噪比下降，衰减了有用信号；2）带来了严重的载波间干扰。

2 基于最大似然的频偏估计

基于循环前缀的ML（Maximum Likelihood ML）估计算法，即最大似然估计算法，是Van de Beek等提出的一种用于OFDM系统的同步算法，它是利用循环前缀对有用数据重复的帧结构，按照最大似然准则来完成载波频率偏差估计的方法[6]。

对于含有N个子载波，循环前缀长度为L的OFDM系统中，每个OFDM符号的实际长度为N+L个样值。经过信道传输后，接收到存在定时偏差和频率偏差的时域信号可表示为：

其中d是符号定时同步点，即OFDM符号的起始位置。Δfc表示相对频偏，η（n）为均值为零的高斯白噪声。如图2所示为包含2N+L个样值的符号r（n），该符号中包含一个完整的N+L个样值的OFDM符号，图中集合I中的元素与集合I′相同。

图2 带有循环前缀的OFDM符号结构图Fig.2 OFDM symbol with cyclic prefix

设 f（r|d，Δfc）为给定符号起始时间 d和频率偏差 Δfc条件下，2N+L个抽样点的联合条件概率密度函数，则对数似然函数 Λ（d，Δfc）被定义为概率密度函数 f（r|d，Δfc）的对数，即：

最大似然估计是要估计出使对数似然函数Λ（d，Δfc）取得最大值时d和Δfc的取值，由于乘积项是对所有2N+L个样值点求乘积，因此与符号起始时间d无关；假设信源为独立等概分布，则r（n）的实部和虚部相互独立，所以值与频率偏差Δfc也无关。因此省去项并不会影响对d和 f（r（n））的估计。 所以，上式可简化为：

根据图2定义的OFDM符号结构，上式可简化为：

其中ρ表示r（n）和r（n+N）之间的相关系数的幅度，由SNR 确定。 c1和 c2都是常数，并且 c1，c2＞0，因此其取值不会对最大似然判决产生影响，式(7)可简化为：

定义：

∠γ（d）表示复数 γ（d）的辐角。 γ（m）表示连续 L 个相距为N的样值对之间的相关值之和，式(8)的第一项为γ（m）的加权模值，其中权值由频率偏差来决定，第二项是独立于频率偏差的能量项，取决于相关系数ρ。

最大似然算法要同时估计符号定时同步位置和载波频率偏差，因此对数似然函数的最大化过程应该分两步来实现，即

当符号起始时间d已知的情况下，要实现（8）的最大化，必须使其中的 cos项为 1，即 2π△fc+∠γ（d）=2nπ，n 为整数，对其进行计算可以得到频率偏差△fc的最大似然估计值为：

通常，载波频率偏差应该在一个较小的范围内，故取n=0，所以，

第二步，估计定时偏差，令式（8）中的cos项为1，则定时偏差d的最大似然函数为：

在利用最大似然算法进行符号定时和载波频率联合估计时，首先将接收信号的2N+L个抽样点存储在缓存器里，分别按（9）、（10）式计算 γ（m）和 φ（m），然后按（15）、（16）式作估计。

3 仿真分析

为了验证ML算法对载波频偏估计的性能，本文采用Monte Carlo方法对其进行了仿真验证，仿真参数为：子载波数N=1 024，保护间隔长度L=24，载波频率偏差△f=0.25，SNR=15 dB。图3（a）为根据式（15）确定的符号定时同步位置的示意图，可以看出当最大似然函数值达到最大的时候恰好是一个符号的起始位置，图3（b）为在此位置上，根据式（16）得到的载波频率偏差的最大似然估计值，由图中可以看出，在符号起始位置处所估计出的载波频偏恰好等于0.25，即基于ML的估计算法可以很好地对系统载波频偏进行估计。

图3 最大似然估计联合确定符号定时与载波频率偏差的示意图Fig.3 Diagram of determining timing and frequency offset using ML algorithm

4 结束语

由于OFDM各子信道带宽较小，其对载波频偏的敏感程度非常高，因此需要非常精确的载波同步。本文首先分析了载波频偏对OFDM系统的影响，然后根据OFDM符号的特殊结构，采用最大似然估计算法对OFDM系统频率偏差进行了有效的估计，最后通过Monte Carlo方法对其进行了仿真验证，结果表明最大似然算法可以有效的估计出载波频率偏差的大小。

[1]尹长川，罗涛，乐光新.多载波宽带无线通信技术[M].北京：北京邮电大学出版社，2004：42-43.

[2]Peled A.Ruiz A.Frequency domain data transmission using reduced computational complexity algorithms [C]∥Proc.IEEE Int.Conf.Acoust Speech Signal Processing， Denver，Co,1980：964-967.

[3]Moose P H.A technique for OFDM frequency offset correction[J].IEEE Transactions on Communications，1994， 42 （10）：2908-2914.

[4]Wei L，Schlegel C.Synchronization requirements for multiuser OFDM on satellite mobile and two Path Rayleigh fading channels[J].IEEE Transactions on Communications，1995（43）：887-895

[5]赵黎.FSO-OFDM系统关键技术研究[D].西安：西安理工大学，2009.

[6]Van De Beek J J，Sandell M,Borjesson P O.Ml estimation of time and frequency offset in OFDM systems[J].IEEE Transactions on Broadcasting， 1997， 45（7）：1800-1805.