改进的多目标粒子群算法优化设计及应用

张兰勇 刘 胜 于大泳

(哈尔滨工程大学自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

1.引 言

在电磁兼容测试中，电磁吸收体的广泛应用促使工程师去开发有效的优化设计算法。理想情况下，一个最薄最轻带宽最宽的吸收体是最好的。但是这些特征是互相矛盾的。比如，设计最高反射衰减的吸收体是可实现的，但是同时具有高厚度或重量。另一方面，薄的和轻的吸收体可能只有较低的反射衰减。

因此，在电波暗室中铺设吸收体时，工程师经常会遇到很多强迫他们寻找在两个矛盾目标函数中最合适的折衷解的问题。所以，如果存在一系列的最优解而不是一种解，设计师可以在每种情况下选择最适合的折衷解。这些优化解的集合在最优化理论中被称为帕累托(Pareto)前沿最优解[1]。

目前，一些Pareto优化方法用来寻找吸收体的Pareto前沿，这些方法通常以遗传算法为基础[2]。此外，多目标粒子群优化算法(MOPSO)也在这个问题中得到应用。但是，一些MOPSO算法却得不到比非支配寻优遗传算法更好地结果[3]。

应用改进的MOPSO算法计算多层电磁吸收体的反射系数与厚度的关系，仿真测试结果证明该方法具有更好地优化效果。

2.改进的多目标粒子群优化算法

粒子群优化算法(PSO)是一种模仿鸟群社会行为的智能优化算法，已成功地应用于许多工程优化问题中。PSO可以用于解决非线性、不可微和多峰值的复杂问题，从而该算法被应用到许多领域[4-5]。

PSO算法首先初始化为一组随机解(随机粒子)，通过迭代搜寻最优解，PSO算法没有像遗传算法中用交叉及变异操作，而是通过粒子在解空间追随最优粒子的行为进行搜索。在实际操作过程中，通过目标函数为每个粒子确定一个适应值(FitnessValue)，来评价粒子的优劣程度。由一个向量来决定粒子的飞行方向和位置。在粒子的飞行过程中，通过粒子本身目前所找到的最优解(个体极值)和整个种群目前所找到的最优解(全局极值)这两个极值来不断的更新自己[6]。

假设搜索空间为D维空间，并且粒子群的第i个粒子可以由D维空间向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)T表示。粒子的速度由向量Vi=(vi1，vi2，…，viD)T表示。第i个粒子的最佳位置记为Pi=(pi1，pi2，…，piD)T。g为粒子群中最佳粒子的标号，即第g个粒子为最佳位置的粒子，并且上标表示重复次数。在整个域中，粒子群通过式(1)和(2)计算[7]。

(1)

(2)

上述方程代表单目标PSO的基本形式。但是在大多数情况下，可能需要同时优化多个函数，各个目标函数间可能是冲突的，这就产生了多目标粒子群优化算法。

通常多目标优化问题不存在使所有目标函数同时最优的惟一的全局最优解。但是存在这样的解：对一个或几个目标函数不可能进一步优化，而对其他目标函数不至于劣化，这样的解称为非劣最优解或Pareto最优解。每个多目标优化算法的主要目的是找到Pareto最优集合。这些最优集合将会平衡相互矛盾的目标。陈民铀等提出了一种自适应进化粒子群优化算法以求解多目标优化问题，采用非支配排序策略和动态加权法选择最优粒子，但该算法未能解决种群多样性问题[7]。李娟等利用改进的粒子群算法应用于Ad Hoc网络移动的计算中，有效地改进了移动模型，但只是针对单目标函数进行的优化[8]。赵志刚等提出了一种基于双向搜索的多目标优化粒子群算法，改进了粒子群的状态更新机制，但增加了计算时间[9]。

Pareto最优的概念是由意大利经济学家Vilfredo Pareto在他1906年的著作(Manual of Political Economy)中给出[10]。为了理解Pareto最优的概念，给出如下定义：

支配：一个位置向量x1支配一个位置向量x2(x1x2)，当且仅当

(3)

Pareto最优：如果不存在一个向量x≠x*∈F支配x*，一个位置向量x*∈F就是Pareto最优。

Pareto最优集合：所有Pareto最优位置向量的集合组成Pareto最优集合。

Pareto前沿：与Pareto最优集合中位置向量相对应的所有的目标向量[10-11]。

在所有多目标最优算法中第一步都是使解与Pareto前沿的距离最小化[11]。所以首先应定义这个目标适当函数。传统的定义适当函数的方式是基于聚合方法，即适应度函数是目标函数的加权和[12]。然而，这种经典的方法对于目标的精确聚合非常敏感，并且趋向效率很低[12-16]。在Pareto支配的基础上提出一种适应度分配的新方法，该方法中适应度与解的支配秩成比例关系。该算法流程图如图1所示。

图1 多目标粒子群优化算法流程图

算法利用式(4)计算每个粒子的速度，即

(4)

每个立方体内的粒子个数除以任何一个大于1的数x(通常取10)，所得的值赋予这个超立方体，目的是降低包含更多超立方体的适应度，并且可以看作适应度共享的一种形式。然后，基于随机选择的方法利用这些适当值选择超立方体，从而可以得到相应的粒子。一旦超立方体被选定，就可以随机选定立方体中的一个粒子。

为了进行更好的区域搜索以及避免收敛于错误的Pareto解，提出了一种变异算子。它的作用是降低迭代次数。它由变异率μ控制。

变异算子为一个随机算子，满足局部最优解的变异率μ计算公式为

(5)

pg=pg·(1+η)

(6)

由于加入了变异算子，就可以改变粒子的前进方向，从而让粒子进入搜索空间的其他区域进行搜索，在其后的搜索过程中，算法就有可能发现新的个体极值以及全局极值。如此反复迭代，算法就有可能找到全局最优解。

在子群的历史最优粒子位置Pi连续无变化或变化极小时，若粒子群出现较严重聚集情况，则保留历史最优粒子位置Pi，将粒子中少部分维重新随机初始化，以此来增强全局搜索能力，克服收敛到局部最优点的缺点，同时又不降低收敛速度和搜索精度。在更新数据时，μ必须保证自由支配，对相邻子群内所有粒子的所有维，按几率μ进行重新随机初始化位置和速度。并且在每个粒子的更新记忆中，如果当前位置是统治最佳位置，则取代过往最佳位置(Pbest)，其算法如下：

If LogjamStep>=MaxStep

If SwarmDist

对相邻子群内所有的粒子的所有维，按几率μ进行重新随机初始化位置和速度

LogjamStep=0；

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

其中，LogjamStep为子群历史最优粒子位置Pi连续不变化或变化极小的迭代次数，MaxStep为连续不变化次数的阈值；SwarmDist为群内所有粒子到历史最佳位置Pi(t)的欧几里得空间距离，SwarmDist可采用为平均聚集距离MeanDist或最大聚集距离MaxDist，定义如下：

(7)

(8)

m为相邻子群离子束，BorderDist为判断群内粒子聚集程度的距离阈值。变异率μ、MaxStep和BorderStep的选择将对算法的性能产生很大的影响，过大的μ和MaxStep以及过小的MaxStep都会影响算法的收敛速度和搜索精度。

这种算法描述了Pareto前沿的多样性。但是Pareto前沿边缘的一些点经常找不到。实际工程中可能对这些点更感兴趣。比如，在一些应用中，只要求高的吸收率，尽管厚度也会增加。为了得到这些Pareto前沿的边缘点，应用算法的改进形式：

在一些迭代中(比如30次迭代之后)，仅仅在重要的目标函数(反射系数)上运行算法优化。为了减少计算时间，在这些迭代中应用快速单目标PSO.

3.电磁吸收体建模

以良导体为底层的多层吸收体如图2所示。第0层为入射介质，第M层为良导体[9]。

层数在设计中已经确定为5层。材料根据电磁特性需要从不同频率的材料库中选取。材料的介电常数与磁导率如表1所示[16]。对于每一层，厚度和材料类型必须详细给出。因此，对于M层的吸收体，这里有2M维位置向量。

考虑有M层不同材料组成的平面吸收体固定在良导体上，设计目的是选择不同材料抑制频带宽度B内的入射波的反射，并且材料厚度尽量薄。不同层的材料是预先确定的，在表1中选择。吸收材料的构成参数随频率变化[20]。

图2 多层吸收体结构

无损绝缘材料(μr=1+j0)#εr010150

有损磁导材料(εr=15+j0)μi(f)=μi(1GHz)fβ;μr(f)=μr(1GHz)fα,μ=μr-jμi#μr(1GHz),αμi(1GHz),β25,0.97410,0.96133,1.00015,0.95747,1.00012,1.000有损绝缘材料(μr=1+j0)εi(f)=εi(1GHz)fβ,εr(f)=εr(1GHz)fα,ε=εr-jεi#εr(1GHz),αεi(1GHz),β55,0.8618,0.56968,0.77810,0.682710,0.7786,0.861松弛型磁性材料μ=μr-jμi,μr=μrmf2mf2+f2m,εr=15+j0#μmfm8350.89350.51030111180.512201.513302.51430215253.5

平面波入射到由M层吸收材料组成的导体板上，在频率f下都可以求解吸收体的反射系数R(f)。其中第i层厚度为ti，介电常数为εi(f)，磁导率为μi(f)(i∈{1，2，…，NL})，在表1中均给出计算公式，则每层的反射系数为

(9)

式中：

(10)

由于

可得

R(f)=RM(f)

(11)

该计算过程可以通过重复代入频带B内的典型频率得到吸收体的频率响应。

吸收体总厚度为

(12)

设计的目的是同时使频带内最高反射系数R=20log10{max[R(f)]，f∈B}与总厚度t最小。

每层的厚度在0～2 mm区间内，两个目标函数为

(13)

式中：B为需要的频带宽度；R为多层结构的反射系数；ti为每层的厚度。由于目标函数中只需知道整个频段内最大的反射系数，因此，最终的反射系数与频率无关。

设计目标是在整个频带中使反射系数的最大值和吸收层的厚度同时最小。因为两个目标是矛盾的，所以必须寻找这个问题的Pareto最优前沿，从而找到两个目标之间的最佳折衷。

4.试验结果分析

本节利用上面提出的算法来设计不同频带范围的吸收体。

1) 低频吸收体：0.2 GHz

2) 高频吸收体：2 GHz

Pareto前沿计算结果如图3和图5所示。假定c1和c2为[1.49，2]内的任意数，ω为[0，1]内的任意数。系数μ=0.5，档案数量=100，群大小=1000。迭代次数最大为3000。根据第三节的分析，每进行30次迭代，在群大小为100和最大迭代次数为100时运行PSO函数计算f1函数(反射系数)。

图3 利用IMOPSO获得的0.2～2 GHz带宽的Pareto前沿

图5 利用IMOPSO获得的2～8 GHz带宽的Pareto前沿

图3为利用改进多目标粒子群优化算法计算的Pareto前沿，图4(看824页)为进化非支配排序遗传算法(NSGAII)、非支配排序遗传算法(NSGA)以及多目标粒子群优化算法(MOPSO)进行优化的Pareto前沿。两图对比可以证明提出的方法在Pareto前沿从上到下取得更好的多样性，即后者的设计结果为前者Pareto前沿的子集。

表2 各种算法性能比较

表2给出了通过计算机仿真IMOPSO算法的性能并结合文献[7]-[11]的数据进行比较。从表中可以看出，IMOPSO所得的非劣解最多，并且收敛速度较快，多样性性能最高。结合图3与图4可以得出结论：IMOPSO算法所得的非劣解在近似Pareto最优解集中所占的比重最大，并且算法的平均线密度最小，非劣解前端均匀性最好。

5. 结 论

文章对多层吸收体的两个矛盾目标进行优化：厚度和反射系数。对于多目标优化问题通常有NSGA，NSGAII，MOPSO等算法来解决这类问题。为了取得更好的解，提出了变异算子以及适应度共享对MOPSO进行了改进。数值计算结果显示该算法优于其他优化策略，并且NSGA，NSGAII和MPSO寻优的 Pareto前沿是文章提出的改进MOPSO得到的Pareto最优解的子集。这个范围更宽的Pareto前沿可以帮助工程师选择更好的最优解进行设计，具有重要的工程应用价值。

[1] CUI S, MOHAN A, and WEILE D S. Pareto optimal design of absorbers using a parallel elitist nondominated sorting genetic algorithm and the finite element-boundary integral method[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2005, 53(6): 2099-2107.

[2] WEILE D S, MICHIELSSEN E, and GOLDBERG D E. Genetic algorithm design of pareto optimal broadband microwave absorbers[J]. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 1996, 38(3): 518-525.

[3] GOUDOS S K and SAHALOS J N. Microwave absorber optimal design using multi-objective particle swarm optimization[J]. Microwave and Optical Technology Letters, 2006, 48(8): 1553-1558.

[4] ZHANG H, TAM C M, LI H. Multimode project scheduling based on particle swarm optimization[J]. Computer-Aided Civil and Infras-tructure Engineering, 2006, 21(2): 93-103.

[5] OMRAN M, ENGELBRECHT A P, SALMAN A. Particle swarm optimization method for image clustering[J]. International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2005, 19(3): 297-321.

[6] SIERRA M R, COELLO C A C. Multi-objective particle swarm optimizers: A survey of the state-of-the-art[J]. Int J of Computational Intelligence Research, 2006, 2(3): 287-303.

[7] 陈民铀, 张聪誉, 罗辞勇.自适应进化多目标粒子群优化算法[J]. 控制与决策, 2009, 24(12): 1851-1855.

CHEN Minyou, ZHANG Congyu, LUO Ciyong. Adaptive evolutionary multi-objective particle swarm optimization algorithm[J]. Control and Decision, 2009, 24(12): 1851-1855. (in Chinese)

[8] 李 娟, 饶妮妮, 廖瑞华, 等. 基于改进粒子群算法的Ad Hoc网络移动模型研究[J]. 电子学报, 2010, 38(1): 222-227.

LI Juan, RAO Nini, LIAO Ruihua, et al. Mobility model based on the improved-PSO algorithm for Ad Hoc network[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(1): 222-227. (in Chinese)

[9] 赵志刚, 李陶深, 杨林峰. 求多目标优化问题的粒子群优化算法[J]. 计算机工程与应用, 2009, 45(29): 37-41.

ZHAO Zhigang, LI Taoshen, YANG Linfeng. Particle swarm optimization for multi-objective programming problems[J]. Computer Engineering and Applications, 2009, 45(29): 37-41. (in Chinese)

[10] PESQUE J J, BOUCHE D P, and MITTRA R. Optimization of multilayered antireflection coatings using an optimal control method[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1992, 41(9): 1789-1796.

[11] 高 芳, 崔 刚, 吴智博, 等. 一种新型多步式位置可选择更新粒子群优化算法[J].电子学报, 2009, 37(3): 529-534.

GAO Fang, CUI Gang, WU Zhibo, et al. A novel multi-step position selectable updating particle swarm optimization algorithm[J]. Acta Electronica Sinica, 2009, 37(3): 529-534. (in Chinese)

[12] KENNEDY J, EBERHART R. Particle swarm optimization[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Neural Network. New York: Piacataway Press, 1995, 4: 1942-1948.

[13] 李文涛, 黑永强, 史小卫. 增强粒子群优化算法设计共形可重构天线阵[J]. 电波科学学报, 2010, 25(3): 477-484.

LI Wentao, HEI Yongqiang, SHI Xiaowei. Enhanced particle swarm optimization algorithm for conformal reconfigurable array[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2010, 25(3): 477-484. (in Chinese)

[14] ENGELBRECHT A P. Fundamentals of computational swarm intelligence[R]. USA: John Wiley & Sons, 2005.

[15] PERINI J and COHEN L S. Design of broad-band radar-absorbing materials for large angles of incidence[J]. IEEE Trans Electromagn Compat. 1993, 35(2): 223-230.

[16] 孙长胜, 孙吉贵, 欧阳丹彤. 一种自适应离散粒子群算法及其应用研究[J]. 电子学报, 2009, 37(2): 300-304.

SUN Changsheng, SUN Jigui, OUYANG Dantong. A self-adaptive discrete particle swarm optimization algorithm[J]. Acta Electronica Sinica, 2009, 37(2): 300-304. (in Chinese)

[17] 刘 东, 冯全源. 基于停滞检测粒子群算法的阵列天线方向图综合[J]. 电波科学学报, 2009, 24(4): 697-701.

LIU Dong, FENG Quanyuan. Pattern synthesis of antennas based on modified PSO algorithm with stagnation detection[J]. Chinese Journal of Radio Science,2009, 24(4): 697-701. (in Chinese)

[18] 彭志平, 陈 珂. 一种消解协商僵局的多目标粒子群优化算法[J]. 电子学报, 2007, 35(8): 1452-1457.

PENG Zhiping, CHEN Ke. A multi-objective particle swarm optimization algorithm for solving negotiation deadlock[J]. Acta Electronica Sinica, 2007, 35(8): 1452-1457. (in Chinese)

[19] 焦永昌, 杨 科, 陈胜兵, 等. 粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计[J]. 电波科学学报, 2006, 21(6): 16-25.

JIAO Yongchang, YANG Ke, CHEN Shengbing, ZHANG Fushun. Application of particle swarm optimization in antenna array pattern synthesis[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2006, 21(6): 16-25. (in Chinese)

[20] CUI S, WEILE D S. Robust design of absorbers using genetic algorithms and the finite element-boundary integral method[C]//IEEE International Symposium on Antennas and Propagation. New York: IEEE Antennas and Propagation society, 2002, 1: 326-329.