基于PDE解析解的潜艇艇型设计

肖杰雄，段宗武，陈 虹

(武汉第二船舶设计研究所，湖北 武汉 430064)

0 引言

偏微分方程(Particial Differential Equation，PDE)方法使用1组椭圆偏微分方程产生曲面，是由英国Leeds大学的Bloor等首先于20世纪80年代末将其作为1种曲面设计工具引入CAD领域的。其思想起源于将过渡面的构造问题看作是偏微分方程的边值问题，而后发现使用该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。Bloor等探索了PDE方法在过度曲面、自由曲面及N边域曲面构造中的应用，同时也探索了这种方法在功能曲面设计中的应用。船体、飞机外形、螺旋桨叶片等外形都可以由PDE方法构造。PDE方法的重要特点是:曲面形态完全由边界条件控制，而边界条件的几何意义非常直观，控制曲面形状所需的参量也较少［1］。

除了美观、光顺要求外，飞机、汽车、船只等形体的曲面设计还有一些功能要求，如流体动力学要求，在体积一定的条件下用料最省的要求等，这就是优化设计问题。这些形体的设计最终归结为一些泛函的极值问题。这些泛函的自变量是形状参数，形状参数的多少直接关系到求泛函极值问题时计算量的大小。如前所述，偏微分方程曲面形状完全由边界条件确定，所需形状参量较少，这一点对功能曲面的优化设计非常有利。Bloor等通过实例研究了用偏微分方程设计功能曲面的方法，如在固定体积下酒杯的设计、在最大散热要求下散热器的形状设计以及船体形状的最小波阻设计等，结果表明，这种方法是可行的。传统的构造曲面的方法需要较多的参数，而PDE方法所产生的曲面自然光滑，且确定一张曲面只需要少量的参数。

1 偏微分方程(PDE)解析解

用偏微分方程构造曲面通常采用参数化的曲面表达式X(u，v)，参数(u，v)可以看作是平面区域Ω中的点，X可以视为由Ω到三维空间R3的映射X:Ω→R3。假设所求曲面X(u，v)满足偏微分方程:

若要构造C0曲面，N的取值为1;若要构造C1曲面，N的取值为2，依此类推。要求解上述方程，必须给出≥2N个边界条件，通常2N个边界条件可以用如下的形式表示:

其中，f1(v)和f2N(v)分别为u=0和u=1的位置边界条件;gi(v)可以是位置边界条件，也可以是导数边界条件，2种形式如下:

PDE生成的曲面形状由边界条件和所选择的偏微分方程确定，PDE生成曲面具有如下特点［3］:

1)构造过渡面简单易行，只需要给出过渡线并计算过渡线处的跨界导矢。

2)所得曲面自然光顺，曲面由自由曲面的超越函数表示，而不是简单的多项式。

3)确定1张曲面只需要少量参数，并且对设计者的数学背景要求较少，用户只需要给出边界曲线和导数就可以产生1张光顺的曲面，因此用户的输入工作量较少。

4)可以通过修改边界曲线和跨界导矢及方程的1个物理参数来调整曲面的形状。

5)易于功能曲面设计。功能曲面设计最终归结为一些泛函的极值问题。这些泛函的自变量是形状参数，形状参数的多少直接关系到求泛函极值问题时计算量的大小。PDE曲面形状完全由边界条件确定，所需形状参数较少，从而可以降低计算耗费。

为了使用解析方法来求解方程(2)的解，进行如下假设:

1)(u，v)的取值范围:

2)边界条件对于变量v是周期函数:

3)所有的边界条件函数是连续的。

基于上述假设，可以得到方程(2)的解析解为:

因为边界条件都是连续的，且都是以2π为周期的周期函数，因此可以展开成傅立叶级数:

假设边界条件展开为有限项(m项)，对于每一项n={1…m}，有下式:

其中:A(a，n)，B(a，n)都是2N ×2N 的矩阵。

目前在曲面造型中，国内外使用最为广泛的PDE是采用如下的双调和方程［4］:

其周期边界条件为:

其中:u∈［0 1］，v∈［0 2π］。

其解析解为

其中:

值得指出的是:方程(12)中的偏微分算子表示了一种光滑过程，即曲面内任意点的函数值是其沿边界的某种意义下的平均，所得曲面是边界线之间的光滑过度，参数a控制着(u，v)这2个参数方向的相对光顺率。

2 偏微分方程在潜艇艇型设计中的应用

由上节讨论可知，使用PDE生成曲面的关键在于构造合适的位置边界条件和导数边界条件，当边界条件确定时，曲面的方程也就惟一确定了。潜艇外型部分包括基本主艇体、指挥室围壳以及围壳舵、方向舵、升降舵、垂直翼和水平翼等，其几何描述如图1所示［5］。

2.1 潜艇主艇体的构造

潜艇主艇体的外形可用进流段、去流段、平行中体三段描述，在已知潜艇主艇体的基本信息(如进流段、去流段、平行中体的长度)和潜艇最大宽度等参数时，通过构造边界条件，可采用PDE方法生成主艇体。

图1 潜艇外形几何描述Fig.1 Geometry description of submarine shape

1)对于进流段，给定边界条件:

u=0对应的位置边界条件为x=0，y=0，z=0，表示艇首，即原点;u=1时的位置边界条件表示进流段与平行中体之间的横截面，此时x=x0代表进流段的长度为x0，y2+z2=R2表示此截面为1个圆面，半径为R，导数边界条件有=0，可以保证进流段与平行中体的光滑过渡。

2)对于去流段，给定边界条件:

同理分析，u=0的位置边界条件为表示平行中体与去流段之间的横截面，此时x=x1代表去流段起始位置，y2+z2=R2表示此截面为1个圆面，半径为R;导数边界条件有=0，可以保证平行中体与去流段的光滑过渡;u=1时的位置边界条件x=x2，y=0，z=0，表示艇尾，即终点。取参数 a=2，a1=4，a2=20，a3=130，a4=30，a5=60，a6= － 10，R=4，x0=30，x1=75，x2=120，得到结果如图2所示。

图2 用PDE方法生成的潜艇主艇体形状Fig.2 Using PDE method generated the surface of submarine body

2.2 指挥室围壳的构造

指挥室围壳的俯视面为一个翼型，给定围壳的基本信息，如长度、最大宽度、顶点到最大宽度处的长度、围壳高度等，可以通过构造合适的边界条件生成指挥室围壳，主要工作涉及翼型曲线的拟合，主艇体上过渡线的选取，倒数边界条件的选取等问题。

指挥室围壳在水平面上的投影为翼型曲线，可以用式(15)进行描述:

其中:Le为进流段长度，即顶点到最大宽度处的长度;Lk为去流段长度;L为总长;L=Le+Lk，r为最大半宽。

为了得到PDE的解析解，首先对x(v)的表达式进行傅立叶变化，使边界条件的形式与标准解的形式相同，取展开项为8项，可得:

对于主艇体上的过渡线，即围壳与主艇体的交线的选取问题，首先确定过渡线在水平面内的投影，其形状仍为翼型，可以使用式(15)进行描述，由于过渡线又是主艇体上的1条曲线，因此满足主艇体的参数方程，即y2+z2=R2，半径R可以由x的值结合主艇体的方程得到。给定参数Lk=6，L=20，r=3，得到的指挥台围壳形状如图3所。

2.3 操纵面的构造

图3 用PDE方法生成的指挥台围壳Fig.3 Using PDE method generated the surface of sail

操纵面由多个部件组成，包括围壳舵、方向舵、升降舵以及垂直翼和水平翼等。每一部件均通过2个典型剖面确定其外形，典型剖面选用性能优良的标准对称翼型。操纵面的构造都是类似的，此处以水平翼为例进行说明，翼型边界的选取与处理方式如上节所述，关键在于操纵面与艇体之间的过渡面的设计，过渡面要求与艇体以及操纵面之间进行光滑过渡，构造过渡面只要确定2个面上的过渡线及其过渡线处的跨界导矢。

图4 用PDE方法生成的水平翼Fig.4 Using PDE method generated the surface of horizontal wing

其他的操纵面构造方法都与水平翼的构造方法类似。将所有的操纵面与之相对应的过渡面都构造完成后，就可以得出有PDE方法生成的潜艇艇型，如图5所示。

由此可以说明，通过构造一定的边界条件，利用潜艇外型设计的基本信息，采用PDE方法，能快速生成潜艇的主艇体。

图5 用PDE生成的潜艇艇型Fig.5 Using PDE method generated the surface of submarine

3 结语

本文主要阐述了四阶椭圆偏微分方程的解析解法及其在自由曲面设计中的应用，初步探讨了PDE方法在潜艇艇型设计中的应用，利用潜艇外型设计的基本信息，采用PDE方法，可以快速地进行潜艇外形设计。PDE方法是一种新的曲面造型技术，它在过渡面的构造，功能曲面的设计等方面具有潜在的优势，但在理论和应用方面还有许多问题有待进一步的研究，接下来将考虑将PDE方法与优化艇体的水动力特性设计相结合，开展深一步的研究。

［1］MIG B，WILSON W J.Using partial differential equations to general free form surfaces［J］.Computer Aided design，1990，22(4):221 －234.

［2］UGAIL H.Methodofboundarybasedsmooth shape design，school of Informatics［J］.University of Bradford.

［3］丁正刚，张全伙.偏微分方程(PDE)曲面造型及其交互式曲面设计技术［D］.福州:华侨大学，2005.DING Zheng-gang，ZHANG Quan-huo.Partial differantial equation surface modeling and interactive design technology［D］.Fuzhou:Huaqiao University，2005.

［4］马岭，朱心雄.PDE造型方法在复杂曲面设计中的应用［J］.计算机学报，1998，(21):357 －362.MA Ling，ZHU Xin-xiong.Application of PDE method to free form surface design［J］.Chinese Journal Computers，1998，(21):357 －362.

［5］周春凯.参数化方法在潜艇外型三维设计中的应用［J］.中国造船，2008，29(3):154 －159.ZHUO Chun-ka.The three-dimension design of submarine form based on parametric method［J］.Shipbuildingof China，2008，29(3):154－159.