钟面上的数学问题

733000 甘肃省武威第十三中学 张晓辉

钟面上的数学问题

733000 甘肃省武威第十三中学 张晓辉

钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题.在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题或相遇问题来解决.

1 时针与分针的重合问题——可转化为追及问题解决

钟面上除了12点到1点这一时段里分针一开始就领先时针跑在前面不会与时针重合外，其它时段，分针总能在某一时刻追上时针并与时针正好重合.这样，就形成了一个有趣的数学问题：时针与分针究竟在几时几分重合?

我们就可以将此题理解成跑得快的分针在后面追跑得慢的时针，这样，时针与分针的重合问题就转化成了追击问题.

问题1 3时多少分时，时针与分针重合?

分析 这个问题实际上就是行程问题中的追及问题，3时分针指着12，时针指着3，分针与时针相距5×3=15小格(90°).分针每分钟走 1 小格(6°)，时针每分钟走小格(0.5°).要使分针与时针重合，分针要比时针多走15小格(90°).根据追及问题中的速度差×追及时间=路程差列式即可.

图1

解 设分针到x分时，时针与分针重合.

根据题意，得

问题2 一昼夜时针和分针能重合多少次?

解析 如果我们把零点看作是重合的，那么12点、24点就不算重合，否则就重复计数了.这样答案就很清楚了：从1点开始的每一整点开始，到下一整点，都是分针追赶时针，并且在一定的时刻一定会相遇.24小时内，时针和分针重合22次，既不是24次，也不是23次.你可以转动一只手表来检验一下.

方法总结

2 时针与分针的对称问题——可转化为相遇问题解决

时针与分针正好处在某一数字的两边，并且与这一数字所在轴线形成的夹角相等，我们就说：此时时针与分针关于某一数字对称.

显然，对称问题中时针与分针的位置关系与重合问题不完全相同，重合问题中分针追到了时针，而对称问题中分针并没有追到时针.如果仍用重合问题的解题思路，本题无法解决.怎么办?认真观察钟面，我们会发现，分针与时针关于某一数字对称的情形，都是分针从数字12出发，追到快接近这个数字的时候，此时，分针离表示整点的数字有多远，时针就正好离开这个数字有多远，如果时针倒过来行走相同时间，就正好与分针在分针现在所在的这一位置相遇.这样，时针与分针的重合问题就转化成了相遇问题.

问题3 5点过多少分时，时针和分针离“5”字的距离相等，并且在“5”的两边?

分析 假设5点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻.这就变成了相遇问题，两针所行距离和是25小格(150°).

图2

解 设经过x分时，时针和分针离“5”字的距离相等，并且在“5”的两边.

根据题意，得

方法总结

3 时针与分针的夹角问题——分多种情况综合考虑

钟面上时针与分针不停地走动，它们之间的关系也在不停地在变化，就会出现重合，锐角，直角，钝角，平角等情况.于是，就出现了下列几种求角度的趣题：

3.1 求某一时刻时针与分针夹角的度数

问题4 9时35分，时针与分针的夹角是多少度?

图3

分析 我们可以将9时作为初始位置，9时35分时，分针指向7，分针经过了35小格，时针走了35分钟，走了×35格，分针走的格数加上时针与分针的夹角的格数，正好等于9对应的格数加上时针35分钟走的格数.

解 设9时35分，时针与分针的夹角是x度.

答：9时35分，时针与分针的夹角是77.5°.

方法总结

一般地，时针与分针在某一时刻m时n分的夹角x，

3.2 求时针与分针何时成直角

问题5 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直?

图4

分析 7点时分针指向12，时针指向7，分针在时针后面5×7=35(格).时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有两种情况：

(1)分针在时针后面15格.从7点开始，分针要比时针多走35-15=20(格).

解 设从7点开始，经过 x分，时针与分针相互垂直.

根据题意，得

(2)分针在时针前面15格.从7点开始，分针要比时针多走35+15=50(格).

根据题意，得

问题6 时针与分针在11点几分时相互垂直?

分析 11点时，时针在分针前11×5=55格，时针与分针要相互垂直，分针须在时针后15格或45格.从11点开始，分针要比时针多走55-15=40(格)，或55-45=10(格).

解 设时针和分针在11点x分时相互垂直.

根据题意，得

方法总结

一般地，时针与分针在m时x分成直角(m是整数).

3.3 求时针与分针何时成平角

问题7 在3点与4点之间，时针和分针在什么时候反向成一直线?

分析 3点时分针指向12，时针指向3，分针在时针后面5×3=15(格).时针与分针反向成一直线，即时针与分针成180°角.从3点开始，分针要比时针多走15+30=45(格).

图5

解 设从7点开始，经过x分，时针与分针反向成一直线.

根据题意，得

问题8 时针和分针在10点几分反向成一直线?

分析 10点时，时针在分针前50格，时针和分针反向，时针须在分针前30格.从10点开始，分针要比时针多走50-30=20小格.

解 设10点x分时针和分针反向，

根据题意，得

方法总结

一般地，时针与分针在m时x分在一条直线上，若6点以前：x-x=5m+30(0≤m＜6，m为整数)，若6点以后为整数).

20110715)