分离变量法在静电场问题中的应用

张保花 郭福强 李艳青

(1,2,3.昌吉学院物理系 新疆 昌吉 831100)

1 引言

静电场问题是电动力学的核心问题[1]，是继电磁学理论之后的重要理论知识。利用电磁学所学知识对一些实际问题不能解决，而电动力学是在人类对电磁现象的长期观察和生产活动中发展起来的，对解决实际问题起到了十分重要的作用。本论文就是把电磁场的基本理论应用到实际情况，其研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间中存在介质或导体分布的情况下，怎样求解静电场问题，主要介绍利用分离变量法求解静电场的一般步骤，并在不同的环境下分离变量法对边界条件和边值关系的适当选择。

2 分离变量法求解的方程及通解

▽2φ=0

(1)

上式称为拉普拉斯方程(拉氏方程)。产生电场的电荷都分布于区域V的边界上，它们的作用通过边界条件反应出来。因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解，(1)式的通解可以用分离变量法给出。

先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系[3]。这里写出用球坐标系中轴对称情形下拉普拉斯方程的通解形式。

在球坐标系下，球坐标用(R,θ,φ) 表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角，则拉氏方程在球坐标系中的通解为：

(3)

Pn(cosθ)为勒让德函数，an和bn是任意常数，由边界条件或边值关系确定。所以，在每一个没有电荷分布的区域内，φ满足拉普拉斯方程，其通解已有(2)或(3)式给出，剩下的问题就是由具体的边界条件或边值关系确定这些通解中所含的任意常数，从而得到满足边界条件下的特解。……