一个非线性四阶梁方程三解定理的新证明

徐自立，焦慧平，石宝峰

( 1.中州大学 信息工程学院，河南 郑州450044 2．大连理工大学 管理与经济学院，辽宁 大连 116024)

由于四阶梁方程

(1)

描述了一个弹性梁的形变过程，并且在理论和实际中还有许多其他的应用，所以最近BVP(1)的研究备受大家的关注，也取得了一系列的研究成果[1-2].本文将对其中的三解存在性给出一个新的证明.

1 预备知识

定义1 设E是一个实Banach空间，D是E中的开集，泛函J：D→R1在D上Fréchet可微.如果J′(u0)=θ，u0∈D，那么称u0是泛函J的一个临界点，并称c=J(u0)是J的一个临界值.

定义2 设E是一个实Banach空间，J：E→R1是C1泛函.如果{un}⊂E，J(un)有界，J′(un)→θ蕴涵{un}有收敛子列，则称泛函J满足Palais-Smale条件，简称P.S条件.

引理2[4]假设J∈C2(H，R1)并且有下界，满足P.S.条件且有一个非退化、非极小、具有有限Morse指数的临界点，那么J至少有3个不同的临界点.

2 主要结论及其证明

定理1 假设下面条件成立：

(H1)f(t，0)=0，∀t∈[0，1]；

那么BVP(1)在C4[0，1]中至少有3个不同的解.

证明记H=L2[0，1]，在H上定义泛函

(2)

由文献[5]易见泛函(2)是问题(1)的能量泛函.下面我们仅需证明J至少有3个不同的临界点.

2.1 证明J∈C2(H，R1)

由(2)可知

J′(u)=u-KfKu，

(3)

J″(u)=I-Kf′(Ku)K，

(4)

所以J∈C2(H，R1).

2.2 证明J在H上有下界

由(H2)知，对任意的u∈H，

(5)

因此，J在H上有下界.

2.3 证明J在H上满足P.S.条件

假设{un}⊂H且∃M1>0使得|J(un)|≤M1及J′(un)=un-KfKun→θ，n→∞.下面证明{un}有收敛子列.

记A=KfK，知A是紧算子，则{Aun}列紧，故存在{Aun}的子例Aun→u0，从而由J′u(n)=un-KfKun→θ知unk-Aunk→θ，所以unh=(unk-Aunk)+Aunk→u0，由此即知{un}有收敛子列.

2.4 证明θ为J的一个临界点

由J′(u)=u-KfKu及f(t，0)=0，∀t∈[0，1]知J′(θ)=θ，即θ为J的一个临界点.

2.5 证明θ为J的一个非退化临界点

为此，即证J″(θ)存在有界逆.

λ=1∈(Cρ(T))=σ(T))=σp(T)∪σc(T)∪σr(T)，

而T是紧算子，所以σ(T){0}=σp(T){0}，所以λ=1∈σp(T)，即λ=1是T的特征值.

设λ为T的任意一个特征值，对应的特征值向量为u≠θ.那么(Tu，u)=(λu，u)=λ(u，u).而

所以T的特征值全部大于0.因为

同理，

m4π4

由于m，n均为正整数，这显然是矛盾的，所以J″(θ)存在有界逆.

2.6 证明θ为J的一个非极小临界点

由(H3)易知存在ε>0使得

所以，对∀ε>0，取u∈Hm，0<‖u‖<ε，‖Ku‖c≤δ，则

即θ为J的一个非极小的临界点.

2.7 证明θ为J的一个具有有限Morse指数的临界点

(J′(u)，u)=‖u‖2-(f(Ku)，Ku)≥‖u‖2-(f(Ku)，Ku)≥‖u‖2-|(f(Ku)，Ku)|≥‖u‖2-‖f(Ku)‖‖Ku‖>‖u‖2-π4‖Ku‖2≥‖u‖2-π4‖K‖2‖u‖2=0.

由Morse指数的定义，J在孤立临界点θ处的Morse指数即为H上使得二次型(J″(θ)v，v)负定的极大子空间的维数，记为dimH-.

而对于v2⊂Hm⊥，因为

λm+1|(v2，em+1)|2+λm+2|(v2，em+2)|2+……≤

所以

从而dimJ-=m，所以θ点的Morse指数有限.

综合证明2.1～2.7，知J满足引理2的全部假设条件，所以由引理2可知J至少有3个不同的临界点，证毕.

参考文献：

[1] Bai Z, Wang H. On positive solutions of some nonlinear fourth-order beam equations[J].J Math Anal Appl， 2002(270):357-368.

[2] Li F, Zhang Q，Liang Z. Existence and multiplicity of solutions of a kind of fourth-order boundary value problem[J].Nonlinear Analysis, 2005(62): 803-816.

[3] 郭大钧.非线性泛函分析[M].2版.济南:山东科学技术出版社,2001.

[4] 张恭庆.临界点理论及其应用[M].上海:上海科学技术出版社,1986.

[5] 张恭庆,林源渠.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社,1987.