数学认知加工教学模式初探

●(仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)

数学认知加工教学模式初探

●吴增生(仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)

随着课程改革的深入，教师逐步关注到了数学课堂教学中过程性目标和结果性目标的达成，逐步关注到了学生的主体地位，探究性学习成为重要的学习方式.但是，存在的突出问题是教师对数学认知活动的设计缺乏科学性和有效性，如：全盘否定接受学习，把接受学习与机械学习划等号；只有探究外衣而无探究实质的假探究大行其是；只给出一个特例就让学生进行归纳；把自主学习理解为独立看书；把一节课的教学内容分成“自学—交流—训练”，把自学和训练放在课外，把课堂变成交流，以加重学生课外负担为代价换取课堂中的轻松学习和精彩交流；把数学学习中充满理性的思考过程降级为“记住公式+练习训练”，把原来的“人灌”变成“纸灌”(用文字材料灌输)或“机灌”(用多媒体灌输)；把情感态度教育变成游离于学生认知活动之外的说教；课堂中没有开展与内容及学生实际相匹配的认知活动，等等.数学认知的发展，只有在基于学生现有认知水平、适合于学生的认知风格和加工特点的认知活动中才可能实现.

3B教育，指的是基于脑、适于脑和发展脑的教育.在这种教育理念下，教育的核心价值在于构建适合于脑的教育，改善大脑神经系统的信息加工效率，优化大脑神经系统的认知功能.在这种教育理念下，数学教育的核心价值是发展学生的数学认知加工能力.基于这一要求，数学课堂应该让学生完整地经历与其发展水平相适应的数学认知活动，也就是说，在数学课堂中，应该让学生经历数学感知、表征、抽象概括和推理计算等认知活动过程[1].

综上所述，探索一种通过有效的数学认知加工活动来实现高效率发展学生数学认知水平和情感态度价值观的教学模式，具有深远的理论研究意义和重大的现实意义.

1 认知加工教学模式的指导思想和核心教学活动

数学教学是数学认知活动的教学，只有适当的数学认知活动才能发展数学认知加工能力.通过设计合理的数学认知活动，引导学生进行自然合理的数学操作和数学思考进而产生新的认识(在大脑中产生新的神经联结)，通过适当的交流提升认识(更新、修剪新的联结)，通过有针对性的训练强化这种新认识(强化期望的神经新联结)，从而达到优化大脑神经认知加工功能的效果，这就是认知加工教学模式的教学指导思想.在这一指导思想下，数学认知活动是数学学习的核心活动，数学知识、数学思想方法和数学活动经验是这种认知加工活动的自然产物.另一方面，情感态度价值观等非智力因素通过个体大脑的情绪中心控制着信息对大脑皮层的刺激.因此，在设计数学认知活动时应该高度关注积极的情绪体验，让学生感受并创造数学的精彩与美丽，体验数学理性的思想光芒，发展数学的效率意识(如用简约的、抽象的、准确的方式描述与研究对象的属性).

基于上述指导思想，认知加工教学模式中核心的学习活动是：

(1)注意选择活动.通过合理选择，把注意集中于认知对象的某些信息而忽略其他信息.选择性注意是个体意识对自身的认知活动的控制，它为后继学习活动确定了明确的认知加工的对象，从而对认知活动起到定向的作用，也就是说，它是个体通过意识控制大脑接受的信息刺激输入类别，从而影响着大脑神经激活扩散的方式、扩散的神经回路.

(2)数学感知活动.感知是数学认知的基础活动，感知包括感觉登记、对象表征和知觉建构活动.对象信息刺激大脑后，经过“额叶—丘脑系统”的控制投射到相应的大脑皮层区域，进行初级加工，形成对某些特征直接的和初步的认识，这就是感觉登记活动；接着，通过意识的控制和对象属性的表征，把关注的对象从背景中分离出来，得到对象属性稳定的直接的认识，于是，知觉就形成了.知觉形成的标志是从背景中分离出对象、觉知到对象，并形成具有恒常性的知觉.在感觉登记到知觉形成的过程中，表征起到了关键的作用.

(3)数学表征活动.数学表征不仅影响着数学感知从而间接地影响着其他数学认知活动，还直接影响着数学抽象概括和推理活动，影响着数学记忆和数学问题解决活动.事实上，数学发展的历史伴随着数学专业化表征技术的发展，学生数学认知水平的发展也伴随着数学表征技术的发展，无理数的发现背景是对两直角边长为有理数的直角三角形斜边长的度量化表示，微积分的发现背景是瞬时速度、割线到切线变化的数学度量化表征的需要，而分形几何的发展则是基于海岸线的精确度量表示需要.学生的数学认知发展也是如此，如小学中对圆的认识只局限于典型样例和半径、直径、面积，初中阶段则用定义加以描述，以对称性和与其他平面图形的关系加以认识，高中阶段则用直角坐标方程(x-x0)2+(y-y0)2=r2表示，高等数学中则以微分方程xdx+ydy=0来表征圆.数学表征不仅表现在新知识的学习过程，还表现在知识的组织过程和问题的解决过程.数学表征的困难是解决问题中遇到的主要障碍之一.

(4)数学抽象和概括活动.数学抽象和概括是数学思维的核心.正因为数学是抽象的，才使数学具有广泛的应用，使之成为工具性学科.数学学习过程中，概念的抽象、原理的概括、数学思想方法的提炼、数学解题策略的概括是认知活动的核心之一.在数学教学中不失时机地开展数学抽象与概括活动对学生数学思维的发展，起着重要的作用.

(5)数学推理活动.数学推理包括类比推理、归纳推理和演绎推理.数学推理、数学抽象与概括，构成了数学思维的基本形式.同时，推理也是数学学科的核心特征，正是由于有了数学推理，才使数学能够承担起发展学生理性思维的教育重任.

(6)数学记忆活动.数学记忆包括数学信息(知识、典型模型、思想方法、认知策略等)的编码、储藏和提取.从记忆的时间与属性分类，数学记忆分为感觉登记、工作记忆和长时记忆；从意识参与的程度分，记忆可以分为内隐记忆和外显记忆；从记忆的方式分，记忆可分为语义记忆和情景记忆.感觉登记是对刺激信息的暂时保持(时间不超过30秒)，长时记忆是由工作记忆中的信息通过精细加工和组织转移而成的信息保持；工作记忆指的是大脑为完成某一目标任务而在线保持信息，并对所保持的信息进行操作加工的系统.工作记忆在表象、语言、计划、推理、决策、学习、思维、问题解决和空间加工等高级认知功能和智力活动中起着非常重要的作用[2].

数学记忆中的编码指数学感知、表征、抽象概括和推理获得新知并对新知进行简约、多元表征；数学记忆中的组织指建立新知与个体已有知识经验之间的联系并使之系统化，形成新的认知结构的过程；数学记忆中的存储指通过复述和应用(其中包含知识的提取和迁移)，在理解知识的基础上巩固新的认知结构的过程.

(7)数学知识的应用活动.通过感知、表征、思维(抽象概括和推理)获得的新知，一般属于陈述性知识，要转化成程序性知识，才能用于推理或计算.例如把“平行四边形对边相等”转化成“如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边相等”并进一步写成推理的逻辑序列“因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AD=BC”.至此，把陈述的事实变成了认知操作的程序.

另一方面，数学概念和原理是针对典型模型的认知加工获得的，当问题情境中的模型与典型模型的表面相似性逐步降低时，问题情境中模型的典型化概括要求越来越高，知识迁移应用的难度越来越大.通过结构相同而表面相似性逐步降低的问题系列(问题变式系列)知识应用训练，可以有效地训练学生的知识迁移应用水平和数学概括水平.同时，这种变式训练的另一个教育价值是：通过训练建立典型模型和非典型模型之间的有机联系，强化大脑的神经联结.

(8)数学元认知活动.数学元认知活动指个体对自身的数学认知活动的感知、体验、监控和调节活动.元认知活动的关键在于自我评价、自我反思和自我调节，以此保证认知活动高效有序进行.

综上所述，选择性注意、数学感知、数学表征、数学思维、数学记忆、数学元认知、数学知识的应用是数学学习中的核心认知活动.根据学习内容的特点，设计合理的数学认知活动序列及其评价技术，是教师教学设计中的核心工作.

因此，高效率的数学学习活动是教师指导下的数学认知活动和元认知活动的有序开展和有机组合，是教师指导下由数学认知活动和元认知活动序列所构成的课堂生态系统.在这一系统中，教师的指导(导)、学生的新知探究活动(学)、师生的相互交流活动(讲)、学生的新知应用活动(练)和学生的自我评价与反思、相互评价与交流(评)构成了促进学生数学认知发展的关键教学活动.因此，从师生的活动类型上看，“导、学、讲、练、评”构成了高效率的数学课堂教学系统的核心活动.

2 核心教学活动及其操作方法

2.1 导

“导”指的是教师的组织和引导.首先，教师的“导”贯穿教学的全过程，教师须要创设适当的情境，激发学生的学习动机，引导学生进行合理的注意选择，需要对学习过程中的活动进行适当的管理(调节和转换)，对学生的学、讲、练、评活动进行有针对性的指导.导、学、讲、练、评之间的关系可用图1表示.

图1

在这一教学模式的课堂中，教师的作用是：(1)整体设计数学课堂中的学习活动，以这些活动承载学生课堂学习活动中的数学认知发展价值；(2)设计合理的学习情境，激发学生的学习动机，引导学生进行合理的注意选择，专注于学习对象；(3)与学生一起确定认知任务，引导学生自然合理地提出问题；(4)在学生形成知识的过程中进行有针对性地启发性引导(个别指导、小组指导和全班性指导)；(5)在阶段学习任务完成后，引导学生反思和总结自己的思考过程，进行学习活动程序的总结和提升，让学生知道前面是怎样想的和怎样做的；(6)组织学生进行独立的基础训练活动，并引导学生对自己的训练进行自我评价和相互评价，纠正自己的认识偏差，获得必要的帮助和指导.

例如，在全等三角形判定(边边边)的教学中，首先要提出问题：屋顶人字架是三角形，同一间房子的屋顶人字架要全等，怎样检验2个人字架的形状大小是否完全一样.由于人字架很大，无法用叠合的方法进行检验，需要寻找更简便的方法——从边角对应关系角度研究三角形全等的条件，这就是引入性引导；接下来，怎么找？对应相等的边角对数从少到多或从多到少找，一对边或角对应相等的2个三角形不一定全等；2个条件也不能保证2个三角形全等(这样的结论应由学生得出并让学生自己举例说明);3个条件成立时，学生难以判断，这时，就需要教师启发“画边长为4 cm，5 cm，6 cm的2个三角形试试”.当学生完成实验，形成初步猜想后，还需要教师引导学生“进一步再画一对3条边长都对应相等的三角形试试——尺规作图”，通过一般的作图检验，强化学生对初步猜想的信念,这些引导属于启发性的引导.在学生形成“边边边”判定知识后，教师需要选择合理的练习供学生训练，让学生把陈述性知识转化为认知操作程序“因为AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，所以△ABC≌△A′B′C′”，初步学习应用该原理进行证明和计算，逐步把知识转变为技能.在课堂小结中，需要教师引导学生回顾课堂中的学习历程和获得的知识经验，总结自己的数学思考过程，教师要进行概括性的总结提升.

课堂中教师导的基本教学行为与学生的学习行为的关系如图2.

图2

2.2 学

“学”指的是学生获得知识的相关认知活动.学生可以进行接受性的学习(如倾听、阅读、模仿)，也可以是探究性的.对于一般性知识可以用接受学习方法，对于核心数学知识则应该采用探究性的学习，通过创设问题情境，引导学生进行自主合作探究，在探究中获得知识，积累数学认知活动的经验.数学认知活动包括数学感知、表征、抽象概括和推理、记忆等活动.学生的探究需要教师提供适当的探究对象、探究资源和探究启发，需要教师引导学生自然合理地提出问题(产生探究对象)，自然合理地解决问题(探究方法引导)和自然合理地解释与拓展问题(探究方法的反思、总结和运用).引导学生进行充分有序的感知、有向多元表征、合理抽象概括、适当计算推理及时反思总结记忆等活动.这些认知活动及其关系如图3所示.

图3

例如，在初中函数概念的学习中，学生通过观察生活中各种变量之间的对应关系(如匀速直线运动中路程与运动时间的关系，周长固定的矩形面积与某一边长的关系，面积固定的矩形邻边长之间的关系，价格数量与价值之间的关系，心律与时间的关系等)，初步感知变量之间的对应关系是生活中广泛存在的现象，然后对这2个变量之间的关系进行研究.接着，通过画对应拓扑图来粗略表示这种对应关系,如图4.

图4

在此基础上，通过列函数关系式、对应值表来表示这种对应关系，感知一个变量的变化是如何影响另一个变量变化的.进一步，通过描点法画出函数图像，在平面直角坐标系中表示出变量之间的对应关系(用图像进行直观的表示).在上述活动的基础上，通过类比和归纳，抽象出函数的概念，并从文字、解析式、图像等不同侧面进行结构化记忆.

2.3 讲

“讲”指的是师生交流活动.讲的核心功能是让学生充分展示自己的思考过程，展示自己的成果、交流学习的体会.通过这一活动，教师可以收集学习过程中的相关信息.在当前数学课堂中，学生意见的发表并不充分，主要体现在以下几方面：学生反应时间欠充分，教师给出一个问题，马上催促学生回答；教师提供学生思考的问题缺乏整体性，学生的回答片言只语，难以形成完整的数学思维交流；好学生抢话题，获得更多的话语权，而学困生的话语权很少；学生缺乏质疑的勇气和精神.目前的数学教学，更多的是训练了学生的解题，但学生并不知道为什么要解题，为什么可以这样解.只会解题与会讲出自己的解题思路具有不同认知水平，后者的发展水平更高.让学生多讲，不仅对听的学生有利(可以获得帮助和借鉴)，对主讲的学生更有利(可以进一步加深知识理解、锻炼有条理的数学表达能力，获得成功的体验等).由于课堂教学时间的限制，可以先让有不同想法的学生分别发表自己的意见.数学课堂中的合作，主要体现在数学探究过程中的分工协作、数学课堂中的交流，主要体现在数学探究思路和结果的交流中.

2.4 练

“练”指的是对知识的辨别、理解和运用.数学训练的基本功能是理解知识、强化知识与问题的联结，建立大脑神经系统中与知识相关典型模型相匹配的神经联结，并通过激活扩散拓展知识相关神经联结网络，在此基础上通过多次不同但相关的激活，强化神经联结，增强神经联结的特异性.从认知加工的角度看，“练”促进了陈述性知识和程序性知识之间的转化，是从知识向技能转化的核心认知活动平台.数学学习中的“练”，既包括对知识的辨别和理解活动，也包括知识的典型应用和非典型应用活动，还包括了具有训练学生大脑计划、控制、决策等高级认知功能的数学问题解决活动，它们分别对应着训练认知功能的3个不同层次：知识、思想方法和解决问题的策略.

应用型练习的核心功能是帮助学生建立数学知识与数学问题之间的联系，这些问题的解决过程须要选择适当的知识经验，用典型的思考方式建立知识与问题之间的典型联系.如在学习了全等三角形的判定和性质后，用全等三角形相关知识研究角平分线的性质，从而形成证明线段(或)角相等的基本方法：寻找或构造全等三角形,这就是证明线段或角相等的重要思想方法.数学问题解决首先需要学生对问题进行数学感知、表征，把实际问题转化为数学问题，其次需要比较问题结构与知识应用典型模型的结构一致性和变异性，寻找典型模型或构造典型模型建立已知与未知之间的联系，引导学生体验问题解决的全部认知过程，让学生在解决问题的认知活动中发展学生的数学问题解决认知活动水平.

根据上述分析，数学学习中的练可分成3个层次：基础训练(知识辨别与理解)、综合运用(数学知识的简单运用，数学思想方法的初步体验)、拓展提高(数学问题解决认知活动训练，数学思想方法的提炼与应用).这些层次之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展.这种关系可用图5表示.

图5

对应地，基础训练、综合运用和拓展提高的习题类型分别应用是表面相似性习题、表面变异性和结构一致性习题、结构变异性习题.所谓表面相似性习题指问题的表面类似于知识的典型模型,属于知识辨别与直接应用；表面变异性结构一致性问题是问题的本质结构与知识的典型结构一致，但表面的描述方式与知识应用典型结构有明显差异，需要在问题背景中辨别出典型结构,属于知识的迁移应用训练；结构变异性指问题的本质结构与知识的典型应用结构不同，但研究的思想方法和策略与知识的典型结构相类似,属于数学思想方法和认知策略的迁移训练.

2.5 评

“评”指的是对自己或别人的数学学习进行评价的课堂活动.数学课堂中的评价，包括学生的自我评价、同伴的相互质疑和相互评价、学习小组的总结性评价和教师的启发性激励性评价.评价需要在对认知活动感知和体验的基础上进行，也是调整学习活动的控制器.自我评价是元认知中的自我体验和自我监控，是自我调节的基础.开展课堂中的自我评价和相互评价，可发展学生的元认知水平,是开展高效率认知活动的重要保障.从认知神经学的角度看，“评”能有效发展大脑前额叶的执行控制功能.数学课堂中的评价，是与认知活动形影相随的，它既包括每个学习活动过程中的自我评价和调控，也包括某一学习环节结束时的自我反思、自我评价和相互质疑评价等.在这些评价活动中，教师需要帮助学生确定合理的评价标准和评价方法，也要帮助学生确定正确的反思评价方向，还要在教学过程中进行直接的启发性评价和激励性评价.

3 数学认知加工教学模式的课堂时空结构

课堂是一个时空系统，是由师生和学习内容组成的信息加工和交互系统.在课堂特定的环境下，学生接受学习材料、同伴和教师发出的信息，这种信息刺激学生的大脑后，经过内省的加工，建立起个体对信息的理解、产生新信息，并通过表达传播自身的信息.这种信息加工是即时、即情、即境的，随着时间的流逝，先前的信息加工和交互影响着后继的信息加工和交互，但先前的时空系统是不可复制的，即便重复进行，也不可产生与先前同样的信息.从这个意义上说，数学课堂教学所留下的遗憾是不可补救的，因此，对课堂时空结构进行精细设计是非常必要的.由于课堂中学生的情绪对大脑的认知加工有重大影响,因此，在课堂教学设计和实施中应充分关注学生的情绪状态.

[1] 吴增生.3B教育理念下的数学高效课堂教学策略初探[J]．数学教育学报，2011(1):17-22.

[2] 魏景汉，阎克乐.认知神经科学基础[M]．北京:人民教育出版社，2008.

[3] Jensen E.基于脑的学习[M].梁平，译.上海：华东师范大学出版社，2008.