对2011年全国数学高考理科第21题的深入探究
——兼谈圆锥曲线的一个统一性质

● (漾濞县第一中学 云南大理 672500)

对2011年全国数学高考理科第21题的深入探究
——兼谈圆锥曲线的一个统一性质

●秦庆雄范花妹(漾濞县第一中学 云南大理 672500)

2011年全国数学高考理科试题Ⅱ大部分都是比较常规的问题，但平凡中蕴含着不平凡，譬如第21题：

(1)证明：点P在C上；

(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：点A，P，B，Q在同一圆上．

图1

图2

本题是一道解析几何试题，设计新颖，综合性强，集中考查了多个知识点，是一道有较好区分度的试题，值得深入探究.若将第(2)小题推广为一般问题进行探究，则可获得如下定理：

定理圆锥曲线2条相交弦的4个端点共圆的充要条件是这2条相交弦的斜率互为相反数.

(充分性)若kAC=-kBD，设直线AC的方程为mx+ny+c1=0,则BD的方程为mx-ny+c2=0.

因为A,B,C,D是椭圆b2x2+a2y2-a2b2=0与2条相交直线AC,BD的交点，所以可设过点A,B,C,D的二次曲线系方程为:

(mx+ny+c1)(mx-ny+c1)+

λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0(λ为参数),

整理得

(λb2+m2)x2+(λa2-n2)y2+m(c1+c2)x+n(c2-c1)y+c1c2-λa2b2=0.

(必要性)若点A，B，C，D共圆，如果kAC≠-kBD，那么过点A作割线AE，使AE与CD相交且kAE=-kBD.由充分性知，点A,E,B,D共圆，因而点A,E,B,C,D共圆.又因为任何一个圆与椭圆不可能有5个交点,所以必有kAC=-kBD．

对于双曲线和抛物线，可仿照椭圆的证明方法完成，这里从略．

因此，圆锥曲线2条相交弦的4个端点共圆的充要条件是这2条相交弦的斜率互为相反数.

如果掌握了上述定理的思路和方法，那么圆锥曲线的一些四点共圆问题便迎刃而解，下面举例说明．

例1的证明过程如下：

由于点A,B是直线l与椭圆C的2个交点,从而

(x1+x2+x3,y1+y2+y3)=(0,0),

即

x3=-(x1+x2),y3=-(y1+y2)，

于是

因此点P在椭圆C上.

从而

因此弦AB,CD相交且斜率互为相反数,由定理可知点A，B，C，D在同一圆上.