共圆
- 浅谈四点共圆的简单应用
材已经不学习四点共圆了,或者把四点共圆放在阅读材料中,但是如果我们学会四点共圆,如果选择、填空题里有几何难题,那不管我们用什么方法,把答案做对就没问题。考场上的书写表达,有一种“改头换面”的方法——将用了四点共圆的书写方法,改写成没用四点共圆的书写方法。一、 引例在刚刚结束的2023年中考,安徽省中考试卷中第22题是一道几何综合性的解答题,不少学生表示题目难度比较大,尤其是第二问无从下手。现在我们一起来研究这道题。【引例】(2023年安徽第22题)在Rt△
考试周刊 2023年34期2023-10-27
- 三点共线赛题的多种解法与探究
,E,C,H四点共圆，所以∠EHC=∠EBC①．由于AD∥BC，则有∠BCA=∠DAC=45°．在△APH中，由于BP⊥AC，则∠APB=45°，所以∠BCA=∠APB，故A,B,C,P四点共圆，因此∠EBC=∠APC②．由AC为直径，得∠PFC=90°，又由于∠PHC=90°，故F,H,C,P四点共圆，则∠APC=∠AHF③．由①②③得∠AHF=∠EHC．图2图3图4说明本题主要是通过图形中边与边、角与角之间的关系进行转换．证法1直接搭建起角相等的桥梁，
中学数学月刊 2023年3期2023-03-20
- 一道高联预赛四点共圆问题的探究
1,Q,F2四点共圆.(2019年高中数学联赛江西预赛第10题)四点共圆由解析几何的代数计算来判定，思路有些单调.借助图形结构的几何性质和四点共圆的纯几何判定定理，我们可以从边长度的计算去得到结论.上面的证法充分发掘椭圆中线段比例关系的特殊性质，这些性质使得我们在处理托勒密定理和斯特瓦尔定理中边长运算时更加灵活便利,这表明借助几何定理，在解析几何中也能提高推理和计算的效率.通过以上多种思路探究和推理论证,既丰富了我们的解题方法,也拓展了我们对问题的理解,这
中学数学研究(江西) 2023年1期2023-01-12
- 数学竞赛中四点共圆问题的证明方法例析
洛川 濮安山四点共圆问题通常通过构造辅助线与相似三角形等知识相结合，寻找边角之间的数量关系，进行转换，得到有效结论，利用对应的证明方法证明四点共圆.本文通过几个典型例题总结分析数学竞赛中四点共圆问题的不同证明方法，供参考.一、利用三点确定一个圆首先证明四点中的任意三点共圆，再证明第四个点在圆上.图1例1 如图1，设H为锐角三角形ABC的垂心，点D在直线AC上，HA=HD，四边形ABEH为平行四边形.证明：B,E,C,D,H五点共圆.分析：本题虽然是一道证明
中学数学研究(江西) 2022年9期2022-10-10
- 基于GeoGebra 的一类四点共圆问题的探究与推广
图形的性质.四点共圆是一类富有和谐美的几何问题,如何将其转化成为代数问题是一个难点, 在全国高考和各地模考中四点共圆问题经常出现. 文[1]通过对五道高考试题中的四点共圆进行赏析, 统一使用了圆的定义进行证明. 文[2]通过对文[1]中的四点共圆的结论进行推广,统一使用了相交弦定理的逆定理进行证明. 本文利用解析法,借助两个结论:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四点共圆;凸四边形对角互补, 则四个顶点共圆, 对数学通报上一类四点共圆问题进行了
中学数学研究(广东) 2022年13期2022-08-29
- 从一道高考试题探究圆锥曲线四点共圆问题
点A,B,C,D共圆.这是证明四点共圆的一个重要结论，类比于此，那么圆锥曲线上四点共圆时，应满足怎样的关系呢？1 试题再现(1)求C的方程；2 解法探析2.1 第(1)问解析2.2 第(2)问解析消去y并整理，得由韦达定理,得所以|TA|·|TB|设直线PQ的斜率为k2，同理可得由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即有显然k1-k2≠0，故k1+k2=0.即直线AB与直线PQ的斜率之和为0.则过A,B,P,Q四点的曲线系方程为因为|TA|·|TB|=
数理化解题研究 2022年19期2022-08-01
- “四大理念”下的教学构建
——以“探究四点共圆的条件”为例
一）教学内容四点共圆的条件的探究和证明。（二）内容解析四点共圆的条件是在学习了过一个点的圆、过两个点的圆、过不在同一条直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆的内接四边形后，对经过任意三点都不在同一条直线上的四点共圆的条件的探究。在学过“圆内接四边形的对角互补”后，相应地，会产生这样的疑问：对角互补的四边形的四个顶点共圆吗？探究四点共圆的条件是促进学生思维自然生长的需要，也是进一步在数学活动中培养学生数学学科核心素养的需要。在四点共圆条件的探究过程中，通过
中学教学参考 2022年11期2022-07-22
- 一个组合几何命题的重新证明
等圆，则此4顶点共圆．文献[1]对定理1的纯几何证明略显复杂．其实定理1当是源自于一个漂亮的几何恒等式．而这个几何恒等式也是杨路教授得到的，并收录在文献[2]中，即是：定理2[2]平面凸四边形A1A2A3A4中|AiAj|=aij(1≤i(R1R2+R3R4)a12a34+(R1R4+R2R3)a14a23=(R1R3+R2R4)a13a24．定理1的证明因四个外接圆中有3个是等圆，不妨设R1=R2=R3=R，代入定理2的恒等式可知三项的系数均为R(R+R
数学通报 2022年2期2022-07-12
- 一道三点共线问题的解法探究
,A,B,C四点共圆,得∠CBE=∠APC.①连结CE.由AC为圆的直径,得∠CEA=90°=∠CHB,所以C,E,B,H四点共圆,可得∠CHE=∠CBE.②连结CF.由AC为圆直径,得∠CFP=90°=∠CHP,所以C,H,F,P四点共圆,可得∠APC=180°-∠CHF.③综合上述①②③ 三式,可得到∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF,即∠CHE+∠CHF=180°.所以E,H,F三点共线.视角2利用西姆松定理延长BH交直线AD于点P,连
高中数学教与学 2022年9期2022-06-22
- 由一道四点共圆问题引发的思考
刘晖四点共圆问题的常见命题形式是：（1）根据已知条件，判断四点是否共圆;（2）根据已知条件，证明四点共圆.这类问题的运算量较大，求解过程较为繁琐，通常需灵活运用直线的方程、直线的斜率，圆的定义、圆的方程、圆的性质、弦长公式，一元二次方程的韋达定理、判别式等来求解.本文结合2021年湖南师大附中5 月联考的第22题，谈一谈四点共圆问题的解法.题目：第一个小问题较为简单，只需设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理和判别式进
语数外学习·高中版下旬 2022年7期2022-05-30
- 二次曲线系在圆锥曲线四点共圆问题中的应用
,B,Q,P四点共圆.由题意知，直线AB和PQ的斜率均存在且不等于0，则直线AB的方程为同理直线PQ的方程为则过A,B,Q,P四点的二次曲线系方程为(*)因为A,B,Q,P四点共圆，所以该圆也是曲线(*)中的一条曲线.方程(*)为圆的充要条件是因为λ≠0，所以k1+k2=0.因此直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和等于0.点评根据双曲线方程及直线AB和PQ的方程，可写出过A,B,Q,P四点的二次曲线系方程. 再由条件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”
数理化解题研究 2022年7期2022-04-01
- 人教A版的一道“四点共圆”题的教学实践与思考
,B,C，D四点共圆。点评与分析：这种解法实际上是待定系数法，它的本质上是代数思维。这是因为圆的一般方程突出了圆的方程的一般特征，即含有D,E,F三个参数的二元二次方程，只需要代入不共线的三个点，则圆的一般方程便转化为D,E,F的三元一次方程组，只需解出这个三元一次方程组，就得到过三个点的圆的方程，最后把第四个点代入验证即可。这类似于初中求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的求解过程。类似地本题也可以设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0
牡丹江教育学院学报 2022年11期2022-02-22
- 探析高考试题 引导思维延展
——从一道高考试题探究圆锥曲线四点共圆问题
点A,B,C,D共圆.这是证明四点共圆的一个重要结论,类比于此,那么圆锥曲线上四点共圆时,有怎样的关系呢?我们先看下面一道双曲线上四点共圆的高考试题.试题再现(2021·新高考全国1)设在平面直角坐标系xOy中,已知点=2,点M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.这是一道直线与圆锥曲线综合题,考查了数学抽象、数
中学数学研究(广东) 2022年24期2022-02-16
- 一道四点共圆问题的多解及其命题背景探究
，B，M，N四点共圆.图12 学生解法汇总评析：以上4种解法本质是相同的：一是将四点共圆这个几何问题，转化为向量数量积为0这个代数问题；二是都是通过设坐标，利用斜率关系和中点关系，将题目条件进行坐标转化和坐标消元.所以说：在解析几何中，几何指挥代数，代数为几何服务，化归坐标永远是王道.评析：利用与圆心和半径解决四点共圆问题，也是一种好思路，用m表示半径，用n表示半径，还需要寻找两者的关系n+m=-4进行消元.解法6：(曲线系方程法)因为点M,N在抛物线C上
中学数学研究(江西) 2021年11期2021-11-17
- 一道美国数学奥林匹克题的八种证法
、N、P、Q四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克第5题)图1从图形结构来看，此题条件精炼，结构优美，解法丰富.文[1]利用线段间的数量关系结合相交弦定理对此赛题进行了证明，文[2]分别运用三角法和解析法给出两种证法，笔者在文[3]中利用反演变换给出这一赛题的新证法，并在文[4]中通过类比和改造图形结构演绎出一些新结论.本文从图形特征出发，利用相似三角形的性质、圆的有关性质和定理及三角代换等技巧，从而给出下面八种新的证明方法，以飨读者.1 利用相似三角形的判
中学数学研究(江西) 2021年11期2021-11-17
- 四点共圆在中考压轴题中的应用
——以广东省近五年的中考题为例
市文园中学 四点共圆在中考的直接考察意图不明显,但通过四点共圆将各类问题转化为圆的常见问题,再用圆的基本性质将问题解决,达到事半功倍的效果,有助于学生形成新的数学模型.本文通过反证法证明四点共圆的两个判定定理,并将它们应用在近五年广东中考题中,再将常规方法和四点共圆的方法进行对比,总结出四点共圆的优点,培养学生的综合解题能力和严谨的学习态度.1 四点共圆的两个判定方法定理1四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.将定理1 转化为符号语言和图形语
中学数学研究(广东) 2020年12期2020-07-10
- 一组合几何问题的证明和推广
相等，则此4顶点共圆.帖子发出，迅速得到余泽伟老师、朱斌老师、李荣峰老师、骆来根老师及本人的解答.本题简洁优美，证法多样，余味不绝，遂探究推广，幸得点滴，下以示之，望得指点.引理1若△ABC和△ABD外接圆是等圆且不重合，则C、D在AB同侧时，∠ACB+∠ADB=180°；C、D在AB异侧时，∠ACB=∠ADB.(如图1)由同圆或等圆中，等弧所对应的圆周角相等，及圆内接四边形对角互补容易得之.引理2△ABC三个顶点与点D构成平面凸四边形，若△ABD、△AC
数学通报 2020年5期2020-06-23
- 圆内接四边形的性质与判定定理的应用
图2 图33 共圆的证明问题根据圆内接四边形的性质与判定定理、相应平面几何中的定理与性质,通过边、角的对应关系结合等量代换等数学思维来证明相应的线段或角度关系,从而证明四点共圆等问题. 图4(1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分∠DEF.证明(1)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°,因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°,于是∠EHD=∠AHC=120°,因为∠EBD
高中数理化 2020年4期2020-06-22
- 由“五点共圆”问题引发的猜想
点.求证：这五点共圆.”这就是著名的“五点共圆”问题.“五点共圆“问题用书面语言可表述为：任意一个五角星，在其五个小三角形上作出五个小三角形的外接圆，两个相邻圆各自交两点，共有十个交点，除去星形本身的五个点，其余五个点必定是共圆的.目前最常见的证明方法如下：图1证明：画任意五角星，如图1所示，△FQK、△KEL、△LDH、△HCM和△MBQ各自的外接圆顺次相交的交点分别为J、I、A、N、G.连接CA、HA、JA、LA、NA、JH、NG、GQ、GJ、JF.根
中学数学杂志 2019年14期2019-08-31
- 高考中的四点共圆问题
为圆锥曲线与四点共圆相结合的高考题.由于试题难度大，知识面广，因而同学们解答较困难.为攻克这一难点，帮助同学们掌握解析法证明四点共圆的方法，本文现以一道调研试题为例说明如下，供同学们复习时参考.题目：求证：两椭圆b2x2+a2y2-a2b2=0和a2x2+b2y2-a2b2=0的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程.（2018年威海市高三教学调研试题）证法一：本题根据“相加法”得到一个圆方程，再说明四点共圆.b2x2+a2y2-a2b2=0 （1）
中学课程辅导·高考版 2019年6期2019-05-21
- 海峡两岸共圆艺术梦想
近jìn日rì，南nán宁nínɡ市shì解jiě放fànɡ路lù小xiǎo学xué的de同tónɡ学xué们men与yǔ来lái自zì台tái湾wān省shěnɡ花huā莲lián县xiàn康kānɡ乐lè小xiǎo学xué、嘉jiā里lǐ小xiǎo学xué的de小xiǎo朋pénɡ友you们men在zài新xīn会huì书shū院yuàn举jǔ行xínɡ了le文wén化huà艺yì术shù交jiāo流liú活huó动dònɡ。解jiě放fànɡ路lù小
学苑创造·A版 2019年4期2019-05-10
- “探究四点共圆”课例的课堂实施
步接受并理解四点共圆问题。简化学生的理解，降低学习难度是提高学生学习热情和理解能力的关键。一、借助三角形的外接圆引入新课由于三角形是学生在以前数学学习过程中重点学习的一个图形，相对比较简单，而三角形的外接圆也是学生以前所接触过的。教师可以绘制不同形状的三角形，然后画出其外接圆，引导学生进行初步思考。不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，在绘制其外接圆的过程中都需要将三个顶点置于圆上，学生很容易发现这是三点共圆问题。为了更好地引出四点共圆，教师可以在
中学课程辅导·教学研究 2019年25期2019-04-07
- 陪位中线与陪位重心
、B、C、E四点共圆.证明因为AD是△ABC的陪位中线，⟹AB·AF=AC·AE，从而得到F、B、C、E四点共圆.图3图4性质3如图4，AD为△ABC的陪位中线，M、N两点分别在AC、AB上，若B、C、M、N四点共圆，则AD平分MN.[1]证明作DE∥BA，DF∥CA交AC、AB于E、F点，连结EF.由性质2知B、C、E、F四点共圆⟹∠AEF=∠ABC.作MS∥DE交AD于S，连结NS，由B、C、M、N四点共圆，有∠AMN=∠ABC；因为∠AMN=∠AEF
数学通报 2019年12期2019-02-11
- 挖掘教材知识，巧用四点共圆解难题
的定义，判定四点共圆到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。例 1.如图(1)，在等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，求∠BMD的度数。图(1)如图(2)，取AB的中点O，图(2)连接 DO、MO，∴AO=BO=DO=MO，∴A、B、D、M 四点共圆，∴∠BMD=∠BAD=45°。我们发现，∠BMD所在的多边形中，很难寻找出与它有关的角
中学课程辅导·教学研究 2018年25期2018-10-18
- 再探“等弧度三圆共点图”*
中一个神奇的四点共圆”两篇文章，给出了等弧度三圆共点图的许多有趣性质.本文将继续探究等弧度三圆共点图并进一步揭示其内在的数学性质，给出一系列有趣的四点共圆.图1 图2文献[1]揭示了“黄圆图”中隐含的一个漂亮的四点共圆：性质1在“黄圆图”中，点O1，O2，O3，D共圆.文献[2]又给出性质1中的四点共圆存在一个美妙的性质：本文将继续探究“等弧度三圆共点图”中内在的性质，给出一系列有趣的四点共圆.图3 图4证明联结MO1，NO1，O2D，O3D，MD，ND(
中学教研(数学) 2018年9期2018-09-07
- 圆锥曲线上四点共圆解决策略
圆锥曲线上的四点共圆问题提出两种解决策略，一是利用共圆定理，二是利用曲线系【关键词】圆锥曲线；共圆；曲线系一、圆锥曲线上四点共圆定理若A，B，C，D为有心圆锥曲线mx2+ny2=1（m≠n）上四个不同的点，且直线AB与CD交于E，AB与CD倾斜角分别为α，β，则A，B，C，D共圆的充要条件是α+β=π.证明设E（x0，y0），则直线AB参数方程为x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t为参数），代入mx2+ny2=1，并整理得（mcos2α+nsi
数学学习与研究 2018年12期2018-08-17
- 《数学通报》2305问题的证明及推广
、B、C、D四点共圆．[1]拜读本刊数学问题解答2305问题之后，引发了笔者深深思考，虽然题目条件中的有心圆锥曲线具有很强的一般性，但是对弦AB和直线CD的条件要求十分特殊，该问题背后是否存在一般规律呢？该结论对抛物线是否成立？带着这些思考开启了下面的探究之旅．一、问题的证明该问题所给的解答中，充分利用了“CD垂直平分AB”这一几何特征，取CD的中点F(如图1)，从而确定这四点共圆的充要条件是BF为圆的半径，进而得出等价条件|CD|2-|AB|2=4|EF
中学数学研究(江西) 2017年5期2017-05-11
- 第32届CMO平面几何题探源
、Q、X、Y四点共圆．反之，设PQ是⊙O的任意一条直径，且PQ所在直线与直线BC交于点T′，当P、Q、X、Y四点共圆(此圆设为⊙O″)时，由根心定理可知，⊙O与⊙O′的外公切线AT、⊙O′与⊙O″的公共弦XY所在直线以及⊙O与⊙O″的公共弦PQ所在直线交于点T(根心)，即点T′与点T重合．图3如图3(在图2的基础上)，过点T作⊙O的另一条切线TS(S为切点)，连结AS，交PQ于点E，交BC于点D，即知TO⊥AS于点E，从而知TE·TO=TA2=TB·TC，
中学数学研究(江西) 2017年5期2017-05-11
- “等弧度三圆共点图”中一个神奇的四点共圆*
中一个神奇的四点共圆*●黄新民 (温州市教育教学研究院 浙江温州 325000)美丽的几何图形往往蕴含着诸多美妙的数学性质.通过构造一个“等弧度三圆共点图”，已经证明其中存在一个美丽的四点共圆，文章将对这个四点共圆作进一步的研究，探索更多奇妙的性质.等弧度；三圆共点图；四点共圆美丽的几何图形，往往蕴含着诸多美妙的数学性质，文献[1]给出了“等弧度三圆共点图”的诸多性质，下面是其中一个漂亮的性质：(注：性质1的证明参见文献[1].)笔者深入研究性质1中的四点
中学教研(数学) 2017年3期2017-03-15
- “探究四点共圆”课例的课堂实施
葛存燕“探究四点共圆”课例的课堂实施☉江苏苏州市高新区实验初级中学葛存燕近年来，《中学数学》（下）刊发了大量预设精妙的教学课例，引领一线教师聚焦课堂教学设计，追求高质量的备课设计.笔者受到文1的影响，通过自己的理解，制作出对应的PPT，执教了一节研讨课，取得了较好的教学效果.本文梳理该课的教学流程，侧重于截图展示笔者的PPT流程，并跟进变式检测，供研讨.一、教学流程教学环节（一）作三角形的外接圆，引入新课.PPT截图，如图1：图1 解读：先呈现三种不同形状
中学数学杂志 2017年2期2017-03-10
- 圆锥曲线上四点共圆充要条件的统一证明与应用
书圆锥曲线上四点共圆充要条件的统一证明与应用☉湖北省阳新县高级中学 邹生书圆锥曲线上四点共圆问题在高考中屡见不鲜，这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起，重点考查运算求解能力和推理论证能力，由于问题综合性强、运算量大，大多考生望而生畏，甚至谈“圆”色变，不得不选择放弃.笔者曾在文2中介绍了构建曲线系方程来处理圆锥曲线上四点共圆的有效方法，在文3中给出了圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件，并用直线的参数方程分别对椭圆、双曲线和抛物线三种情形一一进行了证明
中学数学杂志 2016年17期2017-01-12
- 直径图为11圈的7距离集研究
XD中的所有点都共圆，于是XD=R11，和XD是一个7距离集不符。下面分3种情形来证明。情形1XD的边长均不为d5。如果XD有10条边长度相等，那么它的所有点都在一个圆上，矛盾。于是XD最多有9条边相等。情形1.1XD中有2条边长度为d6或2条边长度为d7(d6与d7讨论类似，2条边为d7的讨论省略)。设XD中有2条边长度为d6。假设d(1,11)=d6，下面分5种类型讨论。如果d(10,11)=d6，显然点1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共圆。因
河北科技大学学报 2016年2期2016-05-11
- 给定距离数的有限点集直径图的研究
，k+1，k+2共圆，得到d(1，k－2)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D，和已知矛盾，故d(k+1，k+2)=dk。假设d(1，2)=dk－1，由引理4可得d(1，3)=dk－2=d(2，5)，d(1，2)=d(3，5)=dk－1，Δ123≅Δ532。于是1，2，3，5 共圆，从而d(1，k+2)=d(2，k+2)=d(3，k+2)=d(5，k+2)=D，矛盾。故d(1，2)=dk。d(k，k+2)=d(k－1，k+1)=dk－1，
河北科技大学学报 2015年2期2015-03-11
- 对2011年全国数学高考理科第21题的深入探究
——兼谈圆锥曲线的一个统一性质
相交弦的4个端点共圆的充要条件是这2条相交弦的斜率互为相反数.(充分性)若kAC=-kBD，设直线AC的方程为mx+ny+c1=0,则BD的方程为mx-ny+c2=0.因为A,B,C,D是椭圆b2x2+a2y2-a2b2=0与2条相交直线AC,BD的交点，所以可设过点A,B,C,D的二次曲线系方程为:(mx+ny+c1)(mx-ny+c1)+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0(λ为参数),整理得(λb2+m2)x2+(λa2-n2)y2+m(c1+c2
中学教研(数学) 2011年11期2011-11-30
- 关于“点共圆”问题的普及
200)关于“点共圆”问题的普及●刘清泉(镇海蛟川书院 浙江宁波 315200)“点共圆”是数学竞赛中的一项重要内容，三角形、四边形中的很多内容都与之关联.但随着新课程改革对逻辑推理要求的降低，特别是初中教材中对“点共圆”涉及的不多，在数学竞赛中与“圆”相关内容的比例也在降低.此时,与“点共圆”的相关内容和相关方法更显得重要.本文力求用几个平面几何中相关的定理知识将这一内容作一有机的整合.1 基础知识如图1～3，A，B，C，D四点共圆，得到如下3个结论:(
中学教研(数学) 2011年6期2011-11-21
- 一道平面几何问题的另证
、C、D、F四点共圆，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.所以，BDAC=BFAB.同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠CDE,得：△ABF∽△ECD.∴BFCD=BACE，即BFBA=CDCE.∴BDAC=CFBE.∴BD•BE=AC•CF.证法二：如图1，连
中学数学研究 2008年2期2008-12-10