第32届CMO平面几何题探源

陈 婧

江苏省南京市鼓楼实验中学 (210000)

第32届CMO平面几何题探源

陈 婧

江苏省南京市鼓楼实验中学 (210000)

图1

原题 如图1，AY是ΔABC的高，AZ是ΔABC的外接圆⊙O的直径，且AZ与BC相交于点X.求证：AB·AC=AY·AZ．

这是苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修4-1《几何证明选讲》中的一道经典例题，由于从三角形一个顶点所作外接圆的直径和对边上的高恰巧是这个内角的两条等角线(外心与垂心是等角共轭点)，所以本例题备受奥赛命题专家与数学爱好者的青睐．下面，让我们来看看它是如何演化为2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO冬令营)平面几何试题的.

图2

如图2(在图1的基础上)，作RtΔAXY的外接圆⊙O′(直径为AX)，由OO′=OA-O′A，知⊙O与⊙O′内切于点A，过点A作⊙O与⊙O′的外公切线AT交直线BC于点T，设直线TO与⊙O交于点P、Q，则由射影定理与切割线定理得，TX·TY=TA2=TB·TC=TP·TQ，故P、Q、X、Y四点共圆．

反之，设PQ是⊙O的任意一条直径，且PQ所在直线与直线BC交于点T′，当P、Q、X、Y四点共圆(此圆设为⊙O″)时，由根心定理可知，⊙O与⊙O′的外公切线AT、⊙O′与⊙O″的公共弦XY所在直线以及⊙O与⊙O″的公共弦PQ所在直线交于点T(根心)，即点T′与点T重合．

图3

如图3(在图2的基础上)，过点T作⊙O的另一条切线TS(S为切点)，连结AS，交PQ于点E，交BC于点D，即知TO⊥AS于点E，从而知TE·TO=TA2=TB·TC，故B、O、E、C四点共圆．设分别过点B、C且与⊙O相切的直线交于点L，连结OB、OC、OL，注意到∠OBL+∠OCL=180°，即知B、O、C、L四点共圆且OL为该圆的直径，于是B、O、E、C、L五点共圆．连结EL，则∠OEL=90°=∠OES，故A、E、D、S、L五点共线．

设想点I在直径PQ上，且P、Q、X、Y四点共圆(特殊化试探)，则点T′与点T重合，注意到AL⊥OT，AL⊥IT，结合调和点列、调和线束的性质知，AL为T关于圆I的极线，从而知圆I与BC的切点在极线AL上，故点D为切点，即A、D、L三点共线.

反之，设想点I在直径PQ上，且A、D(D为圆I与BC的切点)、L三点共线(特殊化试探)，则B、D、C、T′为调和点列，故AD为T′关于圆I的极线，于是OT′⊥AL，IT′⊥AL，从而O、I、T′三点共线，进而知点T′与点T重合，于是P、Q、X、Y四点共圆．

通过上面的讨论，即可生成2016年11月在湖南长沙市雅礼中学举行的第32届中国数学奥林匹克(CMO冬令营)第2道赛题(平面几何题)：

赛题 如图4，锐角ΔABC中，外心为O，内心为I，过点B、C作外接圆的切线交于点L，内切圆切BC于点D，AY垂直BC于点Y，AO交BC于点X.PQ为过点I的圆O的直径.求证：P、Q、X、Y四点共圆等价于A、D、L三点共线.

图4