由一道高考题引发的猜想与证明

李卓祺 罗卫强

江西省吉安市白鹭洲中学 (343000)

由一道高考题引发的猜想与证明

李卓祺 罗卫强

江西省吉安市白鹭洲中学 (343000)

在平面几何里，有切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.如图1，|PT|2=|PA|·|PB|.

图1

由此进行类比联想，椭圆中是否也有类似于切割线定理的性质呢？

先看一道高考试题：

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

基于上述结论，可给出以下两个猜想.

猜想1 从椭圆外一点P引椭圆的切线PT与割线PAB，切线长的平方与这点到割线与椭圆交点的两条线段长的积成定比.

猜想2 从椭圆外一点P引椭圆的切线PT和割线PAB，并且此割线平行于切点与椭圆中心的连线，则切线长的平方与这点到割线与圆交点的两条线段长的积成定比.

在不失一般性的前提下，可以给出以下命题：

图2

λ|PA||PB|.

此时λ与m无关，为常数.故命题得证.

这说明椭圆确实具有类似于“圆的切割线定理”的性质.

能否进一步猜想双曲线也具有类似于“圆的切割线定理”的性质呢？有兴趣的读者可尝试探究.

看来解题实践中处处是学问.我们在做题的同时也应该要多多观察题目中的小细节，说不定就能得出有趣的结论.