高考数学文化之祖暅原理例析

程 玮

江西省瑞金市第一中学 (342500)

高考数学文化之祖暅原理例析

程 玮

江西省瑞金市第一中学 (342500)

在国家教育部考试中心发布的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中，特别强调了要增加对于数学文化的考查，数学文化是人类文化的重要组成部分.考纲中此处的变化，有利于学生领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识.本文主要介绍祖暅原理的内容和来历以及通过经典例题加以分析.

1.祖暅原理的内容和来历

祖暅原理，又名等幂等积定理，内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.魏晋时期数学家刘徽发现《九章算术》中的球体积计算公式是错误的，可惜他试了很多方法都没有得出正确的结论.祖暅(著名数学家祖冲之的儿子)沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论进行体积计算，得出“幂势相同，则积不容异”的结论.“势”即是高，“幂”是面积，终于将这个难题完美解决.

2.典例分析

解析：根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

点评：数学思想方法是数学知识的精华，掌握必要的数学思想方法对我们日常生活中分析和解决问题大有裨益，这道题如果没有祖暅原理的知识储备的话可以说是一道难题，基础稍好的学生或许会掉入“割补法”(将右边的半圆补到左边的空白半圆中，组成一个矩形)的陷阱中.

例3 设由曲线x2=4y和直线x=4，y=0所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1；由同时满足x≥0，x2+y2≤16，x2+(y-2)2

≥4，x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2.根据祖暅原理等知识，通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为________.

点评：本题以抛物线和圆作为载体将平面图形旋转后形成空间几何体，重点考查了学生的空间想象能力和计算能力.确定截面位置和论证两个截面面积相等是解题的关键.

由近五年的高考试题发现，数学文化因这些高考题而慢慢地进入到高中数学课堂，这些试题也因传播数学文化而成为经典试题.可以预见，当富有数学文化内涵的高考题鲜活的出现，定会引领一线教师去挖掘和探究，继而把数学文化教育渐渐地渗透到课堂教学中，最终实现《普通高中数学课程标准》中“体现数学的文化价值”的预期目标，进而达到数学育人的目的.