《数学通报》1898号问题的简解及应用

● (浙江师范大学初阳学院 浙江金华 321004)

《数学通报》1898号问题的简解及应用

●徐杭(浙江师范大学初阳学院 浙江金华 321004)

《数学通报》2011年第3期刊登了郭富喜老师提供的1 898号问题的解答，过程有点繁琐，方法不易想到.现笔者提供如下的一种简解.

原题求值：(tan85°-tan5°)(tan80°-tan10°)(tan75°-tan15°)(tan70°-tan20°)(tan65°-tan25°)(tan60°-tan30°)(tan55°-tan35°)(tan50°-tan40°).

简解先对第1项进行化简，得

同理，其他项化简后，依次为2cot20°，2cot30°，2cot40°，2cot50°，2cot60°，2cot70°，2cot80°.结合公式cotα·cot(90°-α)=1得

原式=28(cot10°cot80°cot20°cot70°cot30°cot60°cot40°cot50°)=28=256.

本题的简解，其实就是应用了三角函数解题中的“切割化弦”方法,即将题中出现的正切、余切函数，正割、余割函数化为弦函数(正弦、余弦函数).常用的公式有：

活用切割化弦方法，对三角函数的解题有很大帮助.下面举例说明之.

例1求cot80°+csc40°的值.

由

得

2sin(x1+x2)>0,cos(x1+x2)>0,0

从而

0

由此得

结合

得

即

以上3个例题都充分利用了切割化弦以及和差化积与积化和差公式.但是在求三角函数问题时，也不一定是一遇到“切”和“割”就立刻全部化成“弦”进行求解.而是要注意审题，切割化弦应把握一定的度.下面一个例子可供参考.

例4求值：cot15°cot25°cot35°cot85.

解原式=tan75°tan65°tan55°tan5° =

tan75°tan15°=1.