双曲型方程的一类并行格式及其数值实验

刘轶中,薛晓鹏

(贵州大学理学院数学系,贵州贵阳 550025)

双曲型方程的一类并行格式及其数值实验

刘轶中,薛晓鹏

(贵州大学理学院数学系,贵州贵阳 550025)

双曲型方程的一般并行格式是采用空间方向并行,时间方向步进的计算方式。本文构造一类恰是时间方向并行,空间方向步进的并行格式,该格式绝对稳定,局部截断误差为o(m2τ2+mτh+h2)。

双曲型方程;并行格式;稳定性;截断误差

构造双曲型方程的并行算法是并行计算研究中极为重要的部分,但由于对双曲型方程的计算具有极强的方向性、不具有绝对稳定的显格式、一般不具有对角占优且仅具有单边边界条件,故对双曲型方程串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情,且双曲型方程的并行格式一般是采用空间方向并行,时间方向步进的计算方式,见文献[1-10]。但对于时间方向并行,空间方向步进的并行格式,尚未见到这方面的文献。笔者针对下述的双曲型方程的初边值问题

构造了一类并行格式就是这样一类时间方向并行,空间方向步进的计算格式,该格式绝对稳定,局部截断误差为o(m2τ2+mτh+h2)。

1 构造并行格式

设问题(1)的解u(x,t)充分光滑,于是,由方程(1)可得如下关系式

如果j从0开始,则计算从左往右行;如果j从J-1开始,则计算从右往左行,如此每一次可用并行机同时计算m个函数值…具有良好的并行度。但m的值不宜太大,以免计算误差放大。

2 稳定性分析

对于并行格式(9)的稳定性分析,用Fourier变换,见文献[13],有:

对∀r≠0皆成立,亦即此格式绝对稳定。由此,有:

定理2 对∀r≠0,并行格式(9)绝对稳定。

3 实验报告

3.1 实验目的及要求

(1)有效求解双曲型方程;

(2)通过编程实例计算,验证理论分析的正确性。

3.2 实验(或算法)设计(上已叙述,略)

3.3 实验硬件及软件平台

(1)硬件平台:贵州大学理学院数学系应用数学与建筑力学实验室的方正电脑;

(2)软件平台:VC++6.0。

3.4 实验步骤和实验内容

(1)编写程序(略)

(2)具体数例

考虑双曲型方程的初边值问题

表1 并行格式(9)的误差(r=1.9,m=5,h=0.01)

3.5 实验结果与讨论

以上数值例子表明理论分析是正确的,格式是有效的。

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[13] 李荣华,冯果忱.微分方程数值解法[M].北京:高等教育出版社,1997.

A class of parallel schemes and numerical experimen ts for hyperbolic equation

LIU Yi-zhong,XUEXiao-peng

(Department of M athematics,College of Sciences,Guizhou University,Guiyang550025,China)

The general parallel schemes for hyperbolic equation are parallel in the direction of space and stepping in the direction of time.In this paper,it construct a scheme that is exactly parallel computing in the direction of time and stepping in the direction of space.The scheme is absolutely stable.The local truncation error iso(m2τ2+mτh+h2).

Hyperbolic equation;Parallel scheme;Stability;Truncation error

O241.82

:A

1001-9383(2011)02-0001-04

2010-04-22

贵州大学大学生创新性实验计划项目

刘轶中(1973-),男,湖南衡东人,硕士,实验师,研究方向:微分方程数值解,Email:liuyiz2004@126.com.