一种钢带牵引并联机构的机械结构设计

樊 锐，刘大为

（北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京 100191）

半柔性冗余并联机构由钢带牵引（steel-banddriven）介于刚性杆支撑并联机构（strut-supported parallel mechanism）与柔性绳牵引并联机构（wire-driven parallel mechanism）之间[1]。与伸缩杆式机构相比，钢带行程大，可增加机构工作空间，且整体质量小，可减小惯性；与绳牵引并联机构相比，钢带的弹性变形较小，易于精确控制。另外，钢带宽度方向有一定的刚度，具有抗扰动能力，提高了动平台位置精度和运动过程中的平稳性。因此，钢带式并联机构，具有较好的工程应用前景。

本文介绍了一种立面1R2T（沿X、Y向移动、绕Z向转动）钢带牵引并联机构。以下就其设计进行分析。

1 理论分析

并联机构处于奇异位形时，机构因失去刚度，而不可控，因此奇异性分析是设计和控制并联机构的前提。

由于钢带只能受拉，所以其奇异性分析与绳牵引并联机构类似。O.Ma给出了发生构型奇异的条件：

（1）如果动平台和静平台是相似的正多边形，则整个工作空间内雅戈比矩阵都是奇异的；

（2）如果动平台和静平台是相似的非正多边形，并且每一对相应的顶点通过一条连杆相连，则雅戈比矩阵JT非满秩，在工作空间内的大部分区域都是奇异的[2]。

钢带牵引与绳牵引机构类似，借用绳牵引并联机构可控工作空间的定义：

m条钢带牵引n自由度并联机构，给定一个位姿X，如果作用在动平台上外力螺旋（外力螺旋为稳定不变的力，如重力）向量WR∈Rn，各条钢带的拉力分布T∈Rm，满足JTT=WR，且T＞0，则X属于可控工作空间，这里m≥n+1，T=（t1，…，tm）T，JT静力学雅克比矩阵（小节1.2将给出其计算过程）[3]。依据此定义，若并联机构自由度为3，则至少需要4条钢带牵引，且钢带均受拉力，才能满足工作空间内可控。

1.1 位姿求解

如图1所示，

P(x，y，准)为动平台中心点；

x，y分别为绝对坐标系下位置；

准为动平台与水平面的夹角；

ki=表示驱动关节点Ai在固定坐标系{O}中的位置向量；

hi=表示从质心P到钢带与动平台连接点Bi的向量；

Li=表示钢带的向量。

根据平面几何的矢量封闭原理和坐标变换公式，模型中各向量满足关系：

其中，X是从A1点到机构平面内P点的矢量。

式（1）中

将式（1）展开，可得第i根钢带的向量在X轴和Y轴上的投影向量：

而第i根钢带的长度可表示为

实际运动过程中，对于所需位姿(x，y，准)，通过式（3）求得钢带长度值，通过电机驱动钢带，达到动平台位姿控制。

1.2 受力分析

动平台所受的力和力矩如图2所示。

图2 动平台受力简图

其静力学方程为

ti为第i根钢带的拉力；

FR和MR分别为动平台受到的稳定不变的外力和外力矩；

ui为沿钢带方向的单位向量

T 是 ti组成的向量（t1，t2，t3，t4）T；

WR=(FR，MR)T=(FRx，FRy，MRz)T是动平台的力螺旋向量。

WR满足关系：

式中，JT为静力学雅克比矩阵：

JT矩阵是3×4的矩阵，由于其不是方阵，不存在逆阵，通过矩阵分析利用Moor-Penrose广义逆（即伪逆矩阵），当已知动平台所受外力，可得钢带拉力为

式中，

(JT)+为JT的Moore-Penrose广义逆；

(JT)+WR为方程（7）的最小范数解；

Tnul为 JT矩阵零空间 N(JT)缀R4×1的一个分量，JTT的通解，即方程（7）的钢带拉力零空间解；

λ是一个不为0的比例系数，λ取值不同，式（5）求得钢带拉力也不同，但是通过对拉力零空间解的规划，可以保证绳索拉力解的唯一性。

2 结构设计

理论计算时，将动平台的位置与姿态离散，对应为一系列的钢带长度。动平台由一个姿态到另一姿态，是通过不同的钢带长度组合得到的[4]。

钢带的缠绕方式有单层和多层缠绕，如图3所示。

图3 钢带卷绕方式

由于钢带有一定厚度，采用（B）方式时弯曲应力比（A）大，节省空间。

但从控制角度看，（B）方式中钢带中心处直径Dc在卷绕过程中，一直都在变化，若编码器与卷筒同轴，难以获得等量反馈脉冲数。若将编码器与卷筒分离，则可解决这个问题。

平面三自由度并联机构，需要有4根钢带牵引，才能完成控制。4个驱动单体放置在静平台四角：以Ai（i=1，2，3，4）点作为出带点。Ai点在驱动单体的一侧中心线上。单体的结构布局与绕带方式都完全相同，实现了模块化设计。

单体主要由电机轮、测长轮和测力轮等部分组成，如图4所示。

图4 驱动单体机构简图

电机轮包括卷筒和带电机。张力传感器实现钢带内张力的测量。编码器，用来测量放出或收回钢带的长度，压紧轮保证钢带与码盘轮贴紧。两个出线过轮的切点在中心线上，保证出带位置不变。

若将动平台设计成正方形，则静平台必须是非正方形，否则会产生奇异。此时1R2T并联机构工作空间内都有rank（JT）=rmax=3，因此机构中无奇异状态。

3 精度分析

动平台的位姿精度，主要受到以下因素影响：

（1）码盘测量精度；

（2）载荷作用下，钢带变形；

（3）出带点位置误差。

对于（1）和（3），采用压紧轮可避免钢带打滑，在制造时严格控制装配定位关系，该误差是系统误差，可通过标定来补偿。

本样机钢带弹性模量为200 GPa，截面积A=10 mm×0.2 mm=2 mm2，静平台长宽分别为997 mm和846 mm，动平台总质量24 g。

所以外力螺旋 WR=[0，-0.24，0]T

将式（7）通过MATLAB编程，求得空间内最大受力30 N，此时钢带长l=791mm。

根据材料力学计算，钢带受力时伸长量

对动平台运动精度的影响不大。

4 相关实验

为考察驱动单体的运行精度和重复性，进行了驱动单体带50 N负载时，运行位置精度测试实验。图5所示为实验流程及实验现场。

图5 实验原理及实验系统

闭环控制钢带伸缩量，重复收放行程，记录动平台的位移量，与理论值作比较。结果见表1。

表1 驱动单体位置精度测试表1 (单位：mm)

可以看出，在钢带收放时，存在误差，这主要与负载重力和电机停转时电压有关。这是因为PMAC输出停转指令后，由于惯性作用，电机仍然具有瞬时速度。停转电压越大，惯性越大，误差越大；而放钢带时，受负载重力的影响，误差更大。可减小负载，并通过实验测得电机收钢带时负载的最小电压，通过降低停转电压，减小加减速度。通过这种方法可有效减小了误差。表2为改善实验方法后钢带长度变化情况。

表2 驱动单体位置精度测试表2 (单位：mm)

在驱动单体标定实验的基础上，进行了钢带牵引机构无旋转的单方向运动控制实验，如图6所示。

图6 动平台牵引实验系统

图 7以 准=0°，由点（301，153） 运动到点（351，153）时，动平台实际运动位姿与理论值的对比结果。X、Y最大误差分别为1.2 mm和1 mm，最大转角误差为0.12 rad。

误差产生的原因主要有：

（1）零点及方向位置点坐标准确测量；

（2）脉冲当量标定；

（3）控制算法等。

这些都是后续工作的内容。

图7 动平台位姿变化曲线

5 结束语

本文介绍了立面1R2T钢带牵引并联机构的初步研究成果。通过对机构奇异性和可控性的分析，可以得到机构可控和不发生奇异的条件，以及钢带张力变化规律，明确结构设计应注意的问题，经实验标定掌握单体控制精度，机构动平台的运动控制，实验证明了理论分析及结构设计的合理性，为钢带牵引并联机构的进一步研究打下了基础。

[1]郑亚青，刘雄伟.绳牵引并联机构的研究概况与发展趋势[J].中国机械工程，2003，14(9)：808-810.

[2]赵 泽.大射电望远镜悬索馈源支撑系统的机械结构设计与分析[D].西安：西安电子科技大学，2003.