微分中值定理应用的一个注记

王丹

摘要： 微分中值定理是微分学中的最重要的基本定理，其应用非常广泛，特别是求函数极限，但在应用微分中值定理时一定要注意所得到的只是一个存在性结果，否则就会出现错误的解答.

关键词： 微分中值定理极限罗比达法则

微分中值定理是《数学分析》及《高等数学》等数学课程的重要知识点之一.其应用非常的广泛，如证明不等式，判定方程根的存在性及其个数，求极限，等等.特别是将微分中值定理应用到求解函数的极限中，我们得到一种非常方便、简洁、有效的方法——罗比达法则.这个法则便于我们求解型与型，以及能化成这两种类型的不定式极限.然而，大家在应用中往往会忽略罗比达法则要求导函数的极限是存在的，引申一点来说就是微分中值定理所得到的结果只是一个存在性的结论，而不是我们求极限所要得出的普遍性的、任意性的结论.本文将从几个典型的例题来论证这一问题的重要性.

下面我们给出微分中值定理的叙述.

Cauchy中值定理设函数f和g满足如下条件，

（Ⅰ）在闭区间［a，b］上连续；

（Ⅱ）在开区间（a，b）内可导，且?坌x∈（a，b），有g′（x）≠0，

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

=.

在Cauchy中值定理中，令g（x）≡x就得到Lagrange中值定理，即函数f在闭区间这［a，b］上连续且在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=.而在Lagrange中值定理条件中再加一个条件f（b）=f（a）就得到Roll定理，即函数f在闭区间［a，b］上连续且在开区间（a，b）内可导，且f（b）=f（a），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.

我们把这三个定理统称为微分中值定……