图像小波变换系统设计

陈金西

(厦门理工学院电子与电气工程系，福建厦门 361024)

数字图像变换域处理的目的是利用某些变换域可使图像的某些特征得以突出，从中提取图像特征，便于处理和识别；利用图像变换域处理可实现图像高效压缩编码；利用图像变换域处理可使数学运算量大大减少，从而提高图像处理速度。数字图像变换域处理最关键是数学变换模型，即首先将图像从空域变换到变换域，然后进行各种处理，再将所得结果进行逆变换，从变换域再变换到空域，从而达到图像处理目的。小波变换具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。在一般情况下，在低频部分可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，所以被称数学显微镜，广泛用于各个时频的分析领域，如信号处理、图像处理、模式识别和语音识别等。小波分析在图像处理方面，主要用来图像压缩、图像降噪、图像增强、图像融合和图像分解。

本设计采用Matlab程序，设计数字图像二维小波变换平台，用户可任意给定变换参数，即可观察变换模型的变换域特征图像、逆变换后的图像及原始图像，并可根据需要存储结果，分析特征。这种图形化、可视化操作界面形象直观，便于理解图像处理过程和变换模型的物理特征，可提高图像分析与研究效率。本设计已应用于教学实践中，得到学生的普遍好评。

1 小波变换系统设计

小波变换的基本思想是通过一个小波函数在时间上的平移和在尺度上的伸缩得到一个小波基，然后利用小波基去表示或逼近信号或函数，获得一种能自动适应各种频变成分的有效信号分析手段。小波变换弥补了傅立叶变换不能描述随时间变化的频率特性的不足，特别适合于那些在不同时间窗内，具有不同频率特性，而且其应用目的是为了得到信号或图像的局部频谱信息而非整体信息的信号或图像处理问题。由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特性，利用小波的多分辨率分解特性既可高效地描述图像的平坦区域，又可有效地表示图像信息的局部突变（图像边缘部分）。因此小波变换在图像处理领域具有十分广阔的应用前景。小波变换定义如下。

如果f（x）是一个离散序列，则对f（x）展开得到的系数称为f（x）的一维离散小波变换。

尺寸为M×N图像f（x，y）的二维离散小波变换定义是[1]：

其中uj，m，n（x,y）=2j/2u（2jx-m，2jy-n）为缩放基函数；

其中（i）={H，V，D}为平移基函数；

u（x,y）=u（x）u（y）为缩放函数；v（Hx,y）=v（x）u（y）为水平方向细节函数；v（Vx,y）=u（x）v（y）为垂直方向细节函数；v（Dx,y）=v（x）v（y）为对角方向细节函数。

离散小波反变换是：

小波分解原理说明：小波分解过程如图1所示，图中S表示原始图像，A表示近似图像（低频图像），B表示细节图像（高频图像），下标表示分解的层数，分解的数学表示为S=A1+B1=A2+B2+B1=A3+B3+B2+B1。由于分解过程是迭代的，从理论上讲可以无限制地连续分解下去，但在实际中，分解可以进行到细节只包含单个样本为止。因此在实际应用中，可根据图像的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。

图1 小波分解示意图

程序算法设计(4层分解)[2]：输入图像I；选择变换小波函数w2；小波分解:[a，b]=wavedec2(I，4，w2)；提取 1 层分解信息：a1=appcoef2(a，b，w2，1)；b1=detcoef2('h'，a，b，1)；c1=detcoef2('v'，a，b，1)；d1=detcoef2('d'，a，b，1)；提取 2 层分解信息：a2=appcoef2(a，b，w2，2)；b2=detcoef2('h'，a，b，2)；c2=detcoef2('v'，a，b，2)；d2=detcoef2('d'，a，b，2)；提取 3 层分解信息：a3=appcoef2(a，b，w2，3)；b3=detcoef2('h'，a，b，3)；c3=detcoef2('v'，a，b，3)；d3=detcoef2('d'，a，b，3)；提取 4 层分解信息：a4=appcoef2(a，b，w2，4)；b4=detcoef2('h'，a，b，4)；c4=detcoef2('v'，a，b，4)；d4=detcoef2('d'，a，b，4)；

计算1层近似图像的熵值H1：H1=0；[f，x]=imhist(a1)；[m，n]=size(a1)；f=f/(m*n)；for k=0:x，iff(k+1)~=0，H1=H1+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

计算2层近似图像的熵值H2：H2=0；[f，x]=imhist(a2)；[m，n]=size(a2)；f=f/(m*n)；for k=0:x，iff(k+1)~=0，H2=H2+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

计算3层近似图像的熵值H3：H3=0；[f，x]=imhist(a3)；[m，n]=size(a3)；f=f/(m*n)； for k=0:x，iff(k+1)~=0，H3=H3+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

计算4层近似图像的熵值H4：H4=0；[f，x]=imhist(a4)；[m，n]=size(a2)；f=f/(m*n)；for k=0:x，iff(k+1)~=0，H4=H4+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

组建小波分解完整图像：J4=[a4，b4；c4，d4]；[m，n]=size(a3)；J_4=J4(1:m，1:n)；J3=[J_4，b3；c3，d3]；

[m，n]=size(a2)；J_3=J3(1:m，1:n)；J2=[J_3，b2；c2，d2]；[m，n]=size(a1)；J_2=J2(1:m，1:n)；

J1=[J_2，b1；c1，d1]；显示所有图像[3]。

程序运行界面如图2所示。

图2 多尺寸小波变换程序运行界面

程序运行结果分析：改变参数，仿真结果与图像处理理论相符合。离散小波变换是将原始图像分解成1个近似图像和3个细节图像，即每一层分解成4个子带图像，近似图像又可进一步分解成4个子带图像，故总的子带数为3k＋1，其中k就是分解的层数。4层haar小波变换结果如图2所示，第一行的右边原始图像分解为第一行左边的4个第一层子带图像，再从第一行的最左边近似图像分解成第二行左边的4个第二层子带图像，再从第二行的最左边近似图像分解成第三行左边的4个第三层子带图像，依此逐层分解。分解层数的选择一方面要看图像的复杂程度，另一方面要从子带信息量来分析，当一个子带分成4个子带时，若4个子带的熵值和很小，就不必再分解了。如图2所示的小波分解例子，其各层的熵值为：第一层近似图像是0.52053；第二层近似图像是0.31054；第三层近似图像是0.15806；第四层近似图像是0.08672。通过本系统实验，在实际应用过程中可根据原始图像的大小和一些经验数据来确定分解层数，一般分解3层即可满足要求。

小波变换与傅立叶变换相比，小波变换具有很大的灵活性，其中一个重要方面就是傅立叶变换具有唯一的正弦基函数，而小波变换具有很多小波基函数可供选择[4]。选择不同的小波基对于图像处理的效果有很大的影响。这种灵活性一方面使小波变换的性能比傅立叶变换有了根本提高，另一方面也给小波变换的应用带来难题。本系统提供可选择的小波有haar(db1)小波、Daubechies（db2；db3；…；db45）小波、Coiflets（coif1；coif2；…；coif5）小波、Symlets（sym2；sym3； …；sym45）小波、Discrete Meyer wavelet(dmey)小波、Biorthogonal(bior1.1，bior1.3， bior1.5，bior2.2，bior2.4，bior2.6，bior2.8，bior3.1，bior3.3，bior3.5，bior3.7，bior3.9，bior4.4， bior5.5，bior6.8)小波、Reverse Biorthogonal（rbio1.1，rbio1.3，rbio1.5，rbio2.2，rbio2.4， rbio2.6， rbio2.8，rbio3.1，rbio3.3， rbio3.5，rbio3.7，rbio3.9， rbio4.4，rbio5.5，rbio6.8）小波。小波基的选取是小波应用研究中的一个难点，在实际应用中，往往都是通过实验来确定。本系统设计下拉列表框提供各种小波基的选择，操作简单，变换结果直接显示，方便用户对各种不同小波基变换特征研究。小波变换通过选取合适的小波基，可以极大地减小或去除所提取不同特征之间的相关性。多尺度小波分解结果，按各层次的低频分解图像，水平方向的高频分解图像，垂直方向的高频分解图像，对角方向的高频分解图像排列显示，便于观察分析图像的分解信息特征。不同层次的图像信息变化，反应小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)分析，在高频段可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)分析。

2 软、硬件运行环境及调试运行

硬件要求：PⅡ以上CPU；1G以上内存；50G以上硬盘空间。

软件要求：Windows2000及以上版本操作系统；采用可视化面向对象程序设计的Matlab2006版本为系统开发平台。

本系统经过调试修改及实践验证，已能全面满足设计需要，大大提高了对数字图像处理学习研究的工作效率，显示较高的实用价值，可在图像处理领域中推广使用。

3 结论

本系统具有如下技术特点：(1)把原始图像小波变换后各层特征图像，由变换图像的重建图像，变换前后误差图像绘在同一界面上，方便用户观察比较，其图像处理运算过程清晰，运算结果形象直观，对图像处理过程的抽象数学理解能起到启发作用[5]。各变换设计的仿真结果满足设计指标要求，变换特性符合数字图像处理理论；(2)界面友好，使用方便，操作简单，运行效率高；(3)有利于改变设计参数，选择原始图像，快速绘出处理结果以及观察与分析研究；(4)对二维小波基进行分类归纳，并进行简单明确的说明，方便“数字图像处理”“数字信号处理”“通信原理”“医学图像处理”的辅助教学，也方便利用本软件进行图像变换处理的自学与研究；(5)变换域用二维图像表示，形象直观，对学习研究变换域各特征之间相互关系很有帮助；(6)利用此平台作为多媒体教学辅助，把抽象的图像处理过程及变换的抽象数学模型用形象的图形来表征，提高教学效率，获得同行及学生好评。

[1]章毓晋.图像处理[M].北京:清华大学出版社,2006.

[2]陈金西.FIR数字滤波器设计可视化平台开发[J].厦门理工学院学报,2008,16(4):37-42.

[3]刘卫国.Matlab程序设计[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]李俊山.数字图像处理[M].北京:清华大学出版社,2007.

[5]陈金西.基于Matlab的数字图像二维滤波软件设计[J].厦门理工学院学报,2009,17(2):40-45.