圆锥曲线的一个统一性质的探究与引申

●王泳彩 (马寅初中学 浙江嵊州 312400)

由于椭圆、双曲线、抛物线是具有统一定义的圆锥曲线，因此它们具有许多统一的性质.笔者通过对2个问题的探究，得出几个有趣的结论.本文对圆锥曲线的研究是在标准方程下进行的，因此给出的性质也只对圆锥曲线的标准方程适用，至于非标准方程下的圆锥曲线还有待进一步研究.

1 定理的发现

问题2 过抛物线y2=2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作2条直线分别交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2).

(2004年北京市数学高考理科试题)

分析(1)略.

(2)设直线PA的方程为y-y0=k(x-x0)，则直线PB的方程为y-y0=-k(x-x0).由

即直线AB的斜率为非零常数.

由问题1和问题2引发了以下思考：

(2)问题1和问题2的结论是巧合吗?对所有圆锥曲线这个性质是否都成立?

笔者借助几何画板研究发现，不管对椭圆、抛物线，还是双曲线，不管它们的位置如何，只要直线PA，PB的倾斜角互补，直线AB的斜率始终为定值.

限于高中阶段圆锥曲线的范畴，不妨设圆锥曲线统一的方程为Ax2+By2+Cx+Dy+F=0(A≠B且A，B不同时为0)，P(x0，y0)为曲线上任一定点，过点P作倾斜角互补的2条直线PA，PB，与曲线的交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2).事实上，设直线PA方程为y-y0=k(x-x0)，则直线PB的方程为 y-y0=-k(x-x0).由

2 定理的引申

进一步思考，定值kAB与点P及圆锥曲线在几何上有什么联系呢?

如图1，可以设想将问题1中的直线 PA，PB不断绕点P旋转，逐渐使点A，B愈来愈靠近，最后可以得到点 A，B重合的状态.记点A，B重合的点为P0，用极限的观点来判断，此时直线AB应为曲线C的切线，点P0为切点.事实上，设线段AB的中点为M，则由PA，PB的倾斜角互补知PM⊥x轴或PM⊥y轴.当A，B重合于点P0时，点M与点……