利用导数求函数的极值（最值）的几个特例

☉江苏省连云港高级中学 高 原

函数的导数，作为一种工具，被引入到我们的新教材中.它的一个重要的作用就是求函数的极值（最值），但是在利用它求极值（最值）时，往往有很多的误区，现总结如下.

特例1 设x0是函数y=f（x） 的极值点，则下列说法正确的是（ ）.

A.必有f′（x0）=0B.f′（x0）不存在

C.f′（x0）=0或f′（x0）不存在D.f′（x0）存在但可能不为0

答案：C

解析：函数f（x）=x3，f ′（x）=3x2，f ′（0）=3×02=0，但x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故尽管有f′（0）=0，但0不是函数的极值点.

评注：x0是函数的极值点是f′（x0）=0的既不充分也不必要的条件，即x0是函数的极值点时，有f ′（x0）=0或f ′（x0）不存在；当f ′（x0）=0时，x0也不一定是函数的极值点.

特例2 设函数f（x）=（x3-1）2+1，下列结论正确的是（ ）.

A.x=1是函数的极小值点，x=0是极大值点

B.x=1及x=0均是函数的极大值点

C.x=1及x=0均是函数的极小值点

D.x=1是函数的极小值点，函数无极大值点

答案：D

解析：令f′（x）=6（x3-1）x2=0，解得x1=0，x2=1.列出表格如下：

即当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数在x=1处取得极小值，无最大值.

评注：我们在利用函数的导数求函数的最值时，一定要认真观察函数在各段上导数的符号，从而准确判断各段上函数的单调性，确定函数的极值和最值.

特例3 函数f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）…（x-50）在x=0点处的导数为（ ）.

A.0 B.502C.100 D.50!

答案：D

（法二：导数的积运算）f（x）=x·［（x-1）（x-2）…（x-50）］.

A.有最大值2，无最小值 B.无最大值，有最小值-2

C.最大值2，最小值-2 D.无最值

答案：C

当x=0时，y=0，即-2≤y≤2，函数有最大值2，最小值-2.

误解：列表如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）y′ - 0 + 0 -y↘-2↗2↘

因为函数的定义域为R，则函数的图像大致如图1，

故函数无最值.

评注：要注意当x→+∞，-∞时，函数的极限值，否则很容易认为函数无最值.实际上函数在x→+∞，-∞时的函数值是介于-2到2之间的，所以函数有最大值2，最小值-2.